모의고사 풀이/2024년 모의고사32 2025학년도 09월 미적분 30번 30. 양수 k에 대하여 함수 f(x)를 f(x)=(k−|x|)e−x이라 하자. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 F(x)에 대하여 F(0)의 최솟값을 g(k)라 하자.모든 실수 x에 대하여 F′(x)=f(x)이고 F(x)≥f(x)이다.g(14)+g(32)=pe+q일 때, 100(p+q)의 값을 구하시오. (단, limx→∞xe−x=0이고, p와 q는 유리수이다.)i. 정리f(x)의 그래프 개형을 대충 그려보자.그럼 이제 대충 F(x)의 개형을 그려볼 차례다!ii. 생각F(x)의 부정적분 상수에 따라 상황이 변하긴 할텐데...겹쳐서 막 그리다 보면...x0인 구간에서 접하면서 F(0)이 최솟값을 가지게 되는 경우가 있을 것이고 경우에 따라 만나지 않으면서 F(0)이 최솟.. 2024. 9. 12. 2025학년도 09월 미적분 29번 29. 수열 {an}의 첫째항부터 제m항까지의 합을 Sm이라 하자. 모든 자연수 m에 대하여 Sm=∑n=1∞m+1n(n+m+1)일 때, a1+a10=qp이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)i. 정리부분분수화가 가능할 거 같은데?1AB=1B−A(1A−1B)m+1n(n+m+1)=m+1n+m+1−n(1n−1n+m+1)=1n−1n+m+1아...심상치않게 더러운 거 같다...a1=S1a10=S10−S9아우....계산....ii. a1을 구하자.S1=a1=∑n=1∞(1n−1n+2)=limn→∞((11−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1+1n−1)+(1n+1n+2))=limn→∞(1+12−1n+1−1n+2)=32첨자가 틀릴 지도 몰라.....대충했음;;;;iii. S.. 2024. 9. 12. 2025학년도 09월 21번 21. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 모든 정수 k에 대하여 2k−8≤f(k+2)−f(k)2≤4k2+14k를 만족시킬 때, f′(3)의 값을 구하시오.i. 정리f(x)=x3+ax2+bx+c주어진 식을 살펴보니 (k+2, f(k+2)), (k, f(k))의 변화율..?맘같아서는 미분하고 싶은데..그래도 될까? 안될 거 같은데?f(k+2)−f(k)를 살펴보자.f(k+2)−f(k)는 k에 대한 2차식이네?ii. 생각4k−16≤f(k+2)−f(k)≤8k2+28kf(k+2)−f(k)를 계산해보자.f(k+2)−f(k)=6k2+4k(3+a)+2(4+2a+b)그래프 개형으로 생각하면 뭐 주어진 부등식을 만족할 거 같긴 하다? (그래프 생략)그냥 등호일 때의 k값을 이용하면 되겠다?4k−16=8k+28k를 .. 2024. 9. 12. 2025학년도 09월 20번 20. 닫힌구간 [0, 2π]에서 정의된 함수 f(x)={sinx−1(0≤xπ)−2sinx−1(π≤x≤2π)가 있다. 0≤t≤2π인 실수 t에 대하여 x에 대한 방정식 f(x)=f(t)의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 모든 t의 값의 합은 qpπ이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)i. 정리 그래프부터 그리고 봐야겠다.y=f(t)를 생각하면,그냥 찾으면 되겠네?t=0, π, 2π이면 f(t)=−1로 세 점에서 만난다.t=π2이면 f(t)=0으로 세 점에서 만난다.f(β)=0인 β≠π2인 값을 생각해보자.sin함수의 성질을 이용하면, (물론 계산해서 구해도 되지만....굳이?)β=32π+α, 32π−α로 표현할 수 있다. (단, α는 실수)ii. 계산0+π.. 2024. 9. 12. 2024년 07월 미적분 30번 30. 상수 a(0a1)에 대하여 함수 f(x)를 f(x)=∫0xln(e|t|−a)dt라 하자. 함수 f(x)와 상수 k는 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 f(x)는 x=ln32에서 극값을 갖는다.(나) f(−ln32)=f(k)6∫0k|f′(x)|f(x)−f(k)dx=p일 때, 100×a×ep의 값을 구하시오.i. 생각f′(x)=ln(e|x|−a)f′(ln32)=ln(eln32−a)=0∴ a=12주어진 적분식을 계산할 수 없네...그럼 좀 더 살펴보자... 어?y=f′(x)는 y축에 대칭이다그러면, y=f(x)는 점대칭이고, f(0)=0이니까 원점대칭이다!그럼 이제 그래프로 개형을 그려보고 더 생각하자.이를 기준으로 y=f(x)의 그래프를 대충 그리면,f(−ln32)=−f(ln32)=.. 2024. 7. 15. 2024년 07월 미적분 29번 29. 첫째항이 1이고 공비가 0이 아닌 등비수열 {an}에 대하여 급수 ∑n=1∞an이 수렴하고 ∑n=1∞(20a2n+21|a3n−1|)=0이다. 첫째항이 0이 아닌 등비수열 {bn}에 대하여 급수 ∑n=1∞3|an|+bnan이 수렴할 때, b1×∑n=1∞bn의 값을 구하시오.i. 정리an=rn−1r≠0, |r|1∑n=1∞(20a2n+21|a3n−1|)=0급수의 값이 0이 되기 위해서 −1r0a2n=r2n−1=r(r2)n−1⟶∑n=1∞a2n=r1−r2a3n−1을 살펴보자.a3n−1=r(r3)n−1={r⋅(r6)n−1(n=2k−1)r4⋅(r6)n−1(n=2k)(단, k≥1인 자연수)∑n=1∞|a3n−1|=∑n=1∞−r⋅(r6)n−1+∑n=1∞r4(r6)n−1계산해서 정리하면,−r1+r3∴ 20r1−r2−.. 2024. 7. 15. 이전 1 2 3 4 ··· 6 다음