2025학년도 09월 미적분 29번

29. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 첫째항부터 제$m$$m$항까지의 합을 $S_m$$S_m$이라 하자. 모든 자연수 $m$$m$에 대하여 $S_m=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m+1}{n(n+m+1)}$$S_m=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \cfrac{m+1}{n(n+m+1)}$일 때, $a_1+a_{10}=\frac{q}{p}$$a_1+a_{10}=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

---

i. 정리

• 부분분수화가 가능할 거 같은데?

  $\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$$\cfrac 1{AB}=\cfrac {1}{B-A}(\cfrac 1A-\cfrac 1B)$

  $\begin{array}{rl}\frac{m+1}{n(n+m+1)}& =\frac{m+1}{n+m+1-n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1})\\ & =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1}\end{array}$$\begin{aligned} \cfrac{m+1}{n(n+m+1)}&=\cfrac{m+1}{n+m+1-n}\big(\cfrac 1n -\cfrac 1{n+m+1}\big)\\ &= \cfrac 1n -\cfrac 1{n+m+1}\end{aligned}$

  아...심상치않게 더러운 거 같다...

• $a_1=S_1$$a_1=S_1$

• $a_{10}=S_{10}-S_9$$a_{10}=S_{10}-S_9$

아우....계산....

ii. $a_1$$a_1$을 구하자.

$\begin{array}{rl}{S}_1=a_1& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}((\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$$\begin{aligned}S_1=a_1&= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(\cfrac 1n-\cfrac 1{n+2}\big) \\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\Big((\cfrac 11 -\cfrac 13) +(\cfrac 12 -\cfrac 14)+(\cfrac 13-\cfrac 15)+\cdots +(\cfrac 1{n-1}+\cfrac 1{n-1} )+(\cfrac 1n +\cfrac 1{n+2})\Big)\\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \Big( 1+\cfrac 12-\cfrac 1{n+1} -\cfrac 1{n+2}\Big)\\ &= \cfrac 32\end{aligned}$

첨자가 틀릴 지도 몰라.....대충했음;;;;

iii. $S_{10}$$S_{10}$을 구하자.

$S_{10}=$$S_{10}=$... 계산 생략하자.... 위처럼 좀 많이 쓰면서...규칙찾으면 나오잖아....많이 풀었던 문제형태일테니.....

$S_{10}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{10}+\frac{1}{11}$$S_{10}=\cfrac 11 +\cfrac 12 +\cfrac 13+\cdots +\cfrac 1{10}+\cfrac 1{11}$

iv. $S_9$$S_{9}$를 구하자.

계산 생략하자.....뭐 계산 열심히 하면 나오는 단순 문제니까...후...

$S_9=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{10}$$S_9=\cfrac 11 +\cfrac 12+\cfrac 13+\cdots +\cfrac 1{10}$

v. $a_{10}$$a_{10}$을 구하자.

$a_{10}=S_{10}-S_9=\frac{1}{11}$$a_{10}=S_{10}-S_9=\cfrac 1{11}$

vi. 계산하자.

$a_1+a_{10}=\frac{3}{2}+\frac{1}{11}=\frac{33+2}{22}=\frac{35}{22}$$a_1+a_{10}=\cfrac 32 +\cfrac 1{11}=\cfrac{33+2}{22}=\cfrac {35}{22}$

$\therefore p+q=57$$\therefore~ p+q=57$

이제는 사고력이 아니라 그냥 산수문제를 내기로 바꿨나?