2025학년도 09월 미적분 30번

30. 양수 $k$$k$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를 $f(x)=(k-|x|)e^{-x}$$f(x)=(k-|x|)e^{-x}$이라 하자. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $F(x)$$F(x)$에 대하여 $F(0)$$F(0)$의 최솟값을 $g(k)$$g(k)$라 하자.

모든 실수 $x$$x$에 대하여 $F^{\prime }(x)=f(x)$$F'(x)=f(x)$이고 $F(x)\ge f(x)$$F(x)\ge f(x)$이다.

$g(\frac{1}{4})+g(\frac{3}{2})=pe+q$$g\Big(\cfrac 14\Big)+g\Big(\cfrac 32\Big)=pe+q$일 때, $100(p+q)$$100(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{-x}=0$$\lim\limits_{ x\to\infty}xe^{-x}=0$이고, $p$$p$와 $q$$q$는 유리수이다.)

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i. 정리

• $f(x)$$f(x)$의 그래프 개형을 대충 그려보자.

  

• 그럼 이제 대충 $F(x)$$F(x)$의 개형을 그려볼 차례다!

  

ii. 생각

• $F(x)$$F(x)$의 부정적분 상수에 따라 상황이 변하긴 할텐데...겹쳐서 막 그리다 보면...

  $x<0$$x<0$인 구간에서 접하면서 $F(0)$$F(0)$이 최솟값을 가지게 되는 경우가 있을 것이고

  경우에 따라 만나지 않으면서 $F(0)$$F(0)$이 최솟값을 가지게 되는 경우가 있을 것이다.

iii. $x<0$$x<0$인 구간에서 교점이 생기면서 접할 때를 살펴보자.

$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}(k+x)e^{-x}& (x<0)\\ (k-x)e^{-x}& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} (k+x)e^{-x} &(x<0)\\ (k-x)e^{-x} &(x\ge 0)\end{cases}$

$\begin{array}{c}F(x)=\{\begin{array}{ll}(-x-k-1)e^{-x}+C_1& (x<0)\\ (x-k+1)e^{-x}+C_2& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$F(x)=\begin{cases} (-x-k-1)e^{-x}+C_1 &(x<0)\\ (x-k+1)e^{-x}+C_2 &(x\ge 0)\end{cases}$

우선 $F(x)$$F(x)$는 $x=0$$x=0$에서 연속이어야 한다.

$-k-1+C_1=-k+1+C_2$$-k-1+C_1=-k+1+C_2$

$C_1=C_2+2$$C_1=C_2+2$

쓸모가 있나...?

이제 접하는 조건을 찾아보자. ($x<0$$x<0$인 구간만 살펴보면 된다!!!)

$h(x)=F(x)-f(x)$$h(x)=F(x)-f(x)$라 하면, $h(x)=h^{\prime }(x)=0$$h(x)=h'(x)=0$이고 $x<0$$x<0$이면 된다.

$h(x)=(-2x-2k-1)e^{-x}+C_1$$h(x)=(-2x-2k-1)e^{-x} +C_1$

$h^{\prime }(x)=-2e^{-x}-(-2x-2k-1)e^{-x}=(2x+2k-1)e^{-x}$$h'(x)=-2e^{-x}- (-2x-2k-1)e^{-x} =(2x+2k-1)e^{-x}$

$h^{\prime }(x)$$h'(x)$에서 $x=\frac{1-2k}{2}$$x=\cfrac {1-2k}2$일 때, $h^{\prime }(x)=0$$h'(x)=0$이고 $h(\frac{1-2k}{2})=0$$h(\cfrac {1-2k}2)=0$이면 된다. 그리고 조건에 따라 $\frac{1-2k}{2}<0$$\cfrac{1-2k}2<0$을 만족해야한다.

$h(\frac{1-2k}{2})=(-1+2k-2k-1)e^{\frac{2k-1}{2}}+C_1=-2e^{\frac{2k-1}{2}}+C_1=0$$h(\cfrac {1-2k}2)=(-1+2k-2k-1)e^{\cfrac{2k-1}{2}}+C_1=-2e^{\cfrac {2k-1}2}+C_1=0$

$\therefore C_1=2e^{\frac{2k-1}{2}}$$\therefore~ C_1=2e^{\cfrac{2k-1}2}$이고 $\frac{1-2k}{2}<0$$\cfrac {1-2k}2<0$에서 $\frac{1}{2}<k$$\cfrac 12 <k$

$\therefore F(0)=(-k-1)+2e^{\frac{2k-1}{2}}(\frac{1}{2}<k)$$\therefore~ F(0)=(-k-1)+2e^{\cfrac {2k-1}2}\quad (\cfrac 12 <k)$임을 알수 있다.

iv. 나머지 경우는 $0\le x$$0\le x$이면서 $0<k\le \frac{1}{2}$$0<k\le \cfrac 12$인 경우를 구하면 된다..

$F(0)=-k+1+C_2$$F(0)=-k+1+C_2$

$C_2$$C_2$의 최솟값은 얼마일까...?

$h(x)=F(x)-f(x)$$h(x)=F(x)-f(x)$를 생각하자.

$h(x)=(2x-2k+1)e^{-x}+C_2\ge 0$$h(x)=(2x-2k+1)e^{-x}+C_2\ge 0$ (조건에 따라서 $F(x)\ge f(x)$$F(x)\ge f(x)$)

그런데, $0<k\le \frac{1}{2}$$0<k\le \cfrac 12$인 조건을 이용하면,

$0\le 1-2k<1$$0\le 1-2k <1$이고 $x\ge 0$$x\ge 0$을 생각하면,

$2x-2k+1\ge 0$$2x-2k+1\ge 0$임을 알 수 있다.

그러면!!! $h(x)\ge 0$$h(x)\ge 0$을 만족시켜주는 $C_2$$C_2$의 범위는 $C_2\ge 0$$C_2\ge 0$이면 된다!

$\therefore C_2$$\therefore~ C_2$의 최솟값은 $0$$0$임을 알 수 있다.

v. 마지막 계산!

$\begin{array}{c}F(0)=g(k)=\{\begin{array}{ll}-k-1+2e^{\frac{2k-1}{2}}& (\frac{1}{2}<k)\\ -k+1& (0<k\le \frac{1}{2})\end{array}\end{array}$$F(0)=g(k) =\begin{cases} -k-1+2e^{\cfrac {2k-1}2} &(\cfrac 12 <k)\\ -k+1&(0<k\le \cfrac 12)\end{cases}$

$\therefore g(\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$$\therefore~ g(\cfrac 14) =-\cfrac 14+1=\cfrac 34$

$\therefore g(\frac{3}{2})=-\frac{3}{2}-1+2e^{\frac{3-1}{2}}=-\frac{5}{2}+2e$$\therefore~ g(\cfrac 32)=-\cfrac 32-1+2e^{\cfrac {3-1}2}=-\cfrac 52+2e$

$\therefore g(\frac{1}{4})+g(\frac{3}{2})=-\frac{7}{4}+2e$$\therefore~ g(\cfrac 14)+g(\cfrac32)=-\cfrac 74 +2e$

$\therefore 100(p+q)=100(-\frac{7}{4}+2)=100\cdot \frac{1}{4}=25$$\therefore~ 100(p+q)=100(-\cfrac 74+2)=100\cdot \cfrac 14=25$