2025학년도 09월 20번

20. 닫힌구간 $[0,2\pi ]$$[0,~2\pi]$에서 정의된 함수 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x-1& (0\le x<\pi )\\ -\sqrt{2}\sin x-1& (\pi \le x\le 2\pi )\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} \sin x -1 &(0\le x<\pi) \\ -\sqrt 2 \sin x -1&(\pi\le x\le 2\pi)\end{cases}$가 있다. $0\le t\le 2\pi$$0\le t\le 2\pi$인 실수 $t$$t$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식 $f(x)=f(t)$$f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$$3$이 되도록 하는 모든 $t$$t$의 값의 합은 $\frac{q}{p}\pi$$\cfrac qp\pi$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• 그래프부터 그리고 봐야겠다.

  

• $y=f(t)$$y=f(t)$를 생각하면,

  

• 그냥 찾으면 되겠네?

  • $t=0,\pi ,2\pi$$t=0,~\pi,~2\pi$이면 $f(t)=-1$$f(t)=-1$로 세 점에서 만난다.

  • $t=\frac{\pi }{2}$$t=\cfrac {\pi}2$이면 $f(t)=0$$f(t)=0$으로 세 점에서 만난다.

  • $f(\beta )=0$$f(\beta)=0$인 $\beta \ne \frac{\pi }{2}$$\beta\neq \cfrac {\pi}2$인 값을 생각해보자.

    $\sin$$\sin$함수의 성질을 이용하면, (물론 계산해서 구해도 되지만....굳이?)

    $\beta =\frac{3}{2}\pi +\alpha ,\frac{3}{2}\pi -\alpha$$\beta=\cfrac 32\pi +\alpha,~\cfrac 32 \pi -\alpha$로 표현할 수 있다. (단, $\alpha$$\alpha$는 실수)

ii. 계산

$0+\pi +2\pi +\frac{\pi }{2}+(\frac{3}{2}\pi +\alpha )+(\frac{3}{2}\pi -\alpha )=\frac{13}{2}\pi$$0+\pi+2\pi+\cfrac {\pi}2 +(\cfrac 32\pi +\alpha) +(\cfrac 32 \pi -\alpha) =\cfrac {13}2\pi$

$\therefore p+q=13+2=15$$\therefore~ p+q=13+2=15$