2025학년도 09월 21번

21. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 정수 $k$$k$에 대하여 $2k-8\le \frac{f(k+2)-f(k)}{2}\le 4k^2+14k$$2k-8\le \cfrac{f(k+2)-f(k)}2 \le 4k^2 +14k$를 만족시킬 때, $f^{\prime }(3)$$f'(3)$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$

• 주어진 식을 살펴보니 $(k+2,f(k+2)),(k,f(k))$$(k+2,~f(k+2)),~(k,~f(k))$의 변화율..?

  맘같아서는 미분하고 싶은데..그래도 될까? 안될 거 같은데?

• $f(k+2)-f(k)$$f(k+2)-f(k)$를 살펴보자.

  $f(k+2)-f(k)$$f(k+2)-f(k)$는 $k$$k$에 대한 $2$$2$차식이네?

ii. 생각

• $4k-16\le f(k+2)-f(k)\le 8k^2+28k$$4k-16\le f(k+2)-f(k)\le 8k^2 +28k$

  $f(k+2)-f(k)$$f(k+2)-f(k)$를 계산해보자.

  $f(k+2)-f(k)=6k^2+4k(3+a)+2(4+2a+b)$$f(k+2)-f(k)=6k^2 +4k(3+a)+2(4+2a+b)$

• 그래프 개형으로 생각하면 뭐 주어진 부등식을 만족할 거 같긴 하다? (그래프 생략)

• 그냥 등호일 때의 $k$$k$값을 이용하면 되겠다?

  $4k-16=8k+28k$$4k-16=8k+28k$를 풀자.

  $k=-1,-2$$k=-1,~-2$

  이제 $k$$k$의 값을 대입하면 $a,b$$a,~b$에 대한 연립방정식이 되겠다!

iii. 계산

i. $k=-1$$k=-1$일 때,

$-20=6-4(3+a)+2(4+2a+b)$$-20=6-4(3+a)+2(4+2a+b)$

$\therefore b=-11$$\therefore~ b=-11$

ii. $k=-2$$k=-2$를 대입하자.

$-24=24-8(3+a)+2(4+2a-11)$$-24=24-8(3+a)+2(4+2a-11)$

$a=\frac{5}{2}$$a=\cfrac 52$

$\therefore f(x)=x^3+\frac{5}{2}{x}^2-11x+c$$\therefore~ f(x)=x^3 +\cfrac 52 x^2 -11x+c$

$f^{\prime }(x)=3x^2+5x-11$$f'(x)=3x^2 +5x-11$

$\therefore f^{\prime }(3)=27+15-11=31$$\therefore~ f'(3)=27+15-11=31$