2017년 10월 가형 30번

30. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $AB$ 위의 점 $P$를 지나고 선분 $AB$에 수직인 직선이 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 $Q$라 하자.

$\overline{AP}=x$라 할 때, $S(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$0<x<2$일 때 $S(x)$는 두 선분 $AP,~PQ$와 호 $AQ$로 둘러싸인 도형의 넓이이고, $x=2$일 때 $S(x)$는 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.

일 때, $\cfrac {30p}q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 유리수이다.)

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i. 정리

정리 할 것이라 따로 없긴 하네...

ii. 생각

• $S(x)$는 대충 어찌저찌 표현은 가능한데 문제는 $\begin{cases} S(1+\sin\theta)\\ \\ S(1+\cos \theta)\end{cases}$로 나타낸 후에 적분을 해야한다.

그럼 뭐 저런 식으로 표현하면 되지.

적분 구간을 살펴보니 $\begin{cases} \cfrac {\pi}4\le\theta<\cfrac{\pi}2 \\ \\\cfrac{\pi}2\le \theta\le \cfrac 34\pi \end{cases}$로 나누어야 겠다.

i. $\cfrac {\pi}4\le \theta <\cfrac {\pi}2$일 때,

• $\overline{OP}=\sin\theta$일 때,

  $S(1+\sin\theta)$는 부채꼴 $AOQ$와 삼각형 $QOP$의 넓이

  $\begin{aligned} S(1+\sin\theta )&= \cfrac {\pi}4 +\cfrac 12 \theta +\cfrac 12 \sin\theta\cos\theta \\ \\ &= \cfrac {\pi}4 +\cfrac 12\theta +\cfrac 14 \sin 2\theta\end{aligned}$

• $\overline{OP}=\cos\theta$일 때,

  $\begin{aligned} S(1+\cos \theta)&+ \cfrac {\pi}2 -\cfrac 12 \theta +\cfrac 14 \sin 2\theta\end{aligned}$

ii. $\cfrac{\pi}2 \le \theta \le \cfrac 34\pi$일 때,

• $\overline{OP}=\sin \theta$일 때,

  

  $\begin{aligned}S(1+\sin\theta)&=\cfrac 12\big(\cfrac 32 \pi -\theta\big)-\cfrac 12 \cos\theta \sin \theta\quad (\because~\cos\theta <0)\\ \\ &= \cfrac 34\pi-\cfrac {\theta}2-\cfrac 14 \sin 2\theta \end{aligned}$

• $\overline{OP}=-\cos\theta$일 때,

  

  $\begin{aligned} S(1+\cos \theta) &= \cfrac 12(\pi-\theta)+\cfrac 12 \cos\theta\sin\theta\\ \\ &=\cfrac 12\pi -\cfrac 12\theta+\cfrac 14\sin 2\theta \end{aligned}$

iii. 계산

$T(\theta)=S(1+\sin\theta)-S(1+\cos\theta)$라 하면,

$\begin{aligned}\int_{\frac {\pi}4 }^{\frac 34\pi} T(\theta)d\theta &= \int_{\frac {\pi}4} ^{\frac {\pi}2}T(\theta)d\theta +\int_{\frac{\pi}2}^{\frac 34\pi} T(\theta)d\theta\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}2}T(\theta)d\theta\end{aligned}$

  $T(\theta)=-\cfrac {\pi}4 +\theta$

  $\begin{aligned} \int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}2}T(\theta)d\theta &= \Big[-\cfrac {\pi}4 \theta +\cfrac 12 \theta^2\Big]_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}2}\\ \\ &=\cfrac {\pi^2}{32}\end{aligned}$

• $\begin{aligned} \int_{\frac {\pi}2}^{\frac 34{\pi}}T(\theta)d\theta\end{aligned}$

  $T(\theta)=\cfrac {\pi}4 -\cfrac 12 \sin 2\theta$

  $\begin{aligned} \int_{\frac {\pi}2}^{\frac 34{\pi}}T(\theta)d\theta &= \Big[\cfrac {\pi}4\theta +\cfrac 14 \cos 2\theta \Big] _{\frac {\pi}2}^{\frac 34\pi} \\ \\ &= \cfrac {\pi^2}{16}+\cfrac 14\end{aligned}$

$\therefore~\begin{aligned}\int_{\frac {\pi}4 }^{\frac 34\pi} T(\theta)d\theta &= \cfrac 3{32}\pi^2 +\cfrac 14\end{aligned}$

$p=\cfrac 14,~q=\cfrac {3}{32}$

$\therefore~\cfrac {30p}q=80$