2018학년도 09년 가형 30번

30. 함수 $f(x)=\ln (e^x +1)+2e^x$에 대하여 이차함수 $g(x)$와 실수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다.

$h(x)=|g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖고, 닫힌 구간 $[k-1,~k+1]$에서 최댓값 $2e+\ln \Big(\cfrac {1+e}{\sqrt. 2}\Big)$를 갖는다.

$g'\Big(k-\cfrac 12\Big)$의 값을 구하시오. (단, $\cfrac 52<e<3$이다.)

---

i. 정리

• $f(x)=\ln (e^x+1)+2e^x$
• $g(x)=ax^2 +\sim$
• $h(x)=|g(x)-f(x-k)|\quad \longrightarrow \quad \begin{cases}x=k\quad\rightarrow\quad \min ~g(k)\\ \\ [k-1,~k+1]\quad \rightarrow\quad \max 2e+\ln \Big(\cfrac {1+e}{\sqrt 2}\Big) \end{cases}$

ii. 생각

• $f(x)$를 살펴보자.

  $f'(x)=\cfrac {e^x}{e^x+1}+2e^x>0$

  $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=2$

  점근선은 $y=2$이고 $f(x)$는 극값없이 증가한다.

• $h(k)=g(k)$를 살펴보자.

  i. $g(k)>f(0)$이면,

  $g(k)-f(1)=g(k)$이고, $f(0)=\ln 2+2$

  성립 불가능!

  ii. $g(k)<f(1)$이면

  $-g(k)+f(0)=g(k)$

  $\therefore ~g(k)=\ln \sqrt 2+1$

  그런데, 최솟값이 $0$이 아니다?

  $y=g(x)$와 $y=f(x-k)$는 교점이 없다!

  대충 그려보면,

  

  이런 형태가 될 것이다. 어?

  $h(x)=f(x-k)-g(x)$로 표현할 수 있고, $h'(k)=0$일 것이다!

  $\begin{aligned} h'(k)&=f'(0)-g'(k)\end{aligned}$

  $g'(k)=f'(0)$

  $\therefore~g'(k)=\cfrac 52$

• $[k-1,~k+1]$에서 최댓값은?

  뭐 위에 그린 그래프 상으로는 $x=k-1$일 때로 보이지만, 분명히 대충 그린 것이다!

  $f'(x)$와 $g'(x)$를 생각해보면, $f(x)$는 거의 지수함수로 급격히 증가하고, $g'(x)$는 기울기가 음수인 일차함수이다.

  $x=k$를 기준으로 생각했을 때, $h(k)$는 극솟값이므로 거의 $g(x)$의 대칭축에 근접해있을 것이다.

  그러면! $x=k+1$에서 최댓값을 가질 것이다!

• $h(k+1)=f(1)-g(k+1)=2e+\ln\Big(\cfrac {1+e}{\sqrt 2}\Big)$

  $\therefore~g(k+1)=\ln \sqrt 2$

iii. 계산

• $\begin{cases} g'(k)=\ln \sqrt 2 +1\\ \\ g(k)=\ln \sqrt 2 +1\\ \\ g(k+1)=\ln \sqrt 2\end{cases}$

  계산상의 편의를 위하여 $g(x)=a(x-k)^2 +bx+c$라 하자.

  $g'(k)=2a(x-k)+b$

  $g'(k)=b=\cfrac 52$

  $g(k)=\cfrac 52 k+c=\ln \sqrt 2 +1$

  $\begin{aligned} g(k+1)&=a+\cfrac 52(k+1)+c \\ \\ &=a+\cfrac 52 +\cfrac 52k+c\\ \\ &= a+\cfrac 52 +\ln \sqrt 2 +1 \\ \\ &=\ln \sqrt 2\end{aligned}$

  $\therefore~a=-\cfrac 72$

$\therefore~g(x)=-\cfrac 72 (x-k)^2 +\cfrac 52 x +c$

$g'(x)=-7(x-k)+\cfrac 52$

$\therefore~g'(k-\cfrac 12)=\cfrac 72 +\cfrac 52 =6$