2018학년도 06월 가형 30번

30. 실수 $a$와 함수 $f(x)=\ln (x^4+1)=c$ ($c>0$인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$를

라 하자. 함수 $y=g(x)$의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면, $\alpha_1,~\alpha _2,~\cdots ,~\alpha_m$ ($m$은 자연수)이다.

$a=\alpha_1$일 때, 함수 $g(x)$와 상수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 $x=1$에서 극솟값을 갖는다.

(나) $\begin{aligned} \int_{\alpha_1}^{\alpha_m} g(x)dx =k\alpha_m \int_0^1 |f(x)|dx\end{aligned}$

$mk\times e^c$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a\in \mathbb R,~f(x)=\ln(x^4+1)-c~(c>0)$
• $\begin{aligned} g(x)=\int_a^x f(t)dt\end{aligned}$
• $g(x)=0$이 서로다른 실근을 갖게되는 $a$의 값을 순서대로 $\alpha_1,~\alpha_2,~\cdots,~\alpha_m$
• $y=g(x)$는 $x=1$에서 극소
• $\begin{aligned} \int_{\alpha_1}^{\alpha_m} g(x)dx =k\alpha_m \int_0^1 |f(x)|dx\end{aligned}$

ii. 생각

• 할 수 있는 건? $f'(x)$를 구해서 $f(x)$의 개형? 그리고 $g'(x)=f(x)$

  $f'(x)=\cfrac {4x^3}{x^4+1}$

  $f(x)$의 개형은 대충 이차함수의 개형을 가질 것이다. 어? $x=1$에서 극소값이면 $f(1)=0$

  

  $f'(x)$는 원점대칭이므로 $f(x)$는 $y$축 대칭이고, $g(x)$는 점대칭이 되겠네?

  아무튼 $f(1)=0$을 이용하자.

  $\ln 2-c=0$

  $\therefore~c=\ln 2$

• 이제 $y=f(x)$의 개형을 가지고 $y=g(x)$의 개형을 그리자.

  

  대충 그리고 보니 $m=4$

  이거 생각보다 쉬울 수 있겠다?

• 조건 (나)를 생각하자.

  • $\begin{aligned} \int_{\alpha_1}^{\alpha_4}g(x)dx\end{aligned}$을 계산해야 하는데... $y=g(x)$는 분명히 $(0,~g(0))$에 대해서 점대칭이다. 오호라 그럼 적분값은 간단히 구해진다!

    $\begin{aligned} \int_{\alpha_1}^{\alpha_4}g(x)dx=\alpha_4 \times g(\alpha_4)\end{aligned}$

  • $\begin{aligned} k\alpha_4 \int_0^1 |f(x)|dx\end{aligned}$을 생각하자.

    위 조건에 맞춰서 $y=f(x)$의 그래프를 생각하면,

    

    $\begin{aligned} \int_0^1 |f(x)|dx=S\end{aligned}$가 된다.

    $\begin{aligned} g(\alpha_4)&=\int_{\alpha_1}^{\alpha_4} f(x)dx \\ \\ &= 2S-2S+2S\\ \\ &=2S\end{aligned}$

  식을 정리하면,

  $\alpha_4 \times 2S =k\alpha _4 \times S$

  $\therefore~k=2$

$\therefore~mk\times e^c =4\cdot 2\times e^{\ln 2} =16$