2018학년도 09월 가형 21번

21. 수열 $\big\{a_n\big\}$이

이다. 구간 $[-1,~2)$에서 정의된 함수 $f(x)$가 모든 자연수 $n$에 대하여

이다. $-1<\alpha <0$인 실수 $\alpha$에 대하여 $\begin{aligned} \int_{\alpha}^t f(x)dx =0\end{aligned}$을 만족시키는 $t~(0<t<2)$의 값의 개수가 $103$일 때, $\log_2(1-\cos (2\pi \alpha))$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a_1=-1,~a_n=2-\cfrac 1{2^{n-2}}\quad (n\ge 2)$
• $[-1,~0)$에서 정의된 $f(x)=\sin (2^n\pi x )\quad (a_n\le x\le a_{n+1})$
• $-1<\alpha <0\quad \longrightarrow\quad \begin{aligned} \int_{\alpha }^t f(x)dx =0\end{aligned} \quad 0<t<2 \quad 103$개

ii. 생각

• 수열이 나왔네? 그럼 규칙부터 찾아보자!

  $a_1=-1$

  $a_2=1$

  $a_3=2-\cfrac 12$

  $a_4=2-\cfrac 1{2^2}$

  $\quad \vdots$

• $f(x)$의 규칙도 찾아보자.

  $f(x)=\begin{cases} \sin 2\pi x &(-1\le x\le 1)\\ \\ \sin 2^2 \pi x &(1\le x\le 2-\cfrac 12\\ \\ \sin 2^3 \pi x &(a_3\le x\le a_4)\\ \\ \quad \vdots\\ \\ \sin 2^n\pi x&(a_n\le x\le a_{n+1}\end{cases}$

  이 함수의 구간별 주기는 $2^n\pi p=2\pi \quad \longrightarrow\quad p=\cfrac 1{2^{n-1}}$

  어라? 첫번째를 제외하면 구간과 주기가 일치한다!

• $\begin{aligned}\int_{\alpha }^tf(x)dx =0 \end{aligned}$을 살펴보자.

  아무래도 식을 좀 보기 좋게 나눠야겠지?

  $\begin{aligned}\int_{\alpha }^t f(x)dx &=\int_{\alpha }^0 f(x)dx +\int_0^t f(x)dx \end{aligned}$

  $\therefore~\begin{aligned} -\int_{\alpha }^0 f(x)dx=\int_0^t f(x)dx \end{aligned}$

• $\begin{aligned}-\int_{\alpha}^0 f(x)dx \end{aligned}$를 계산하자.

  $\begin{aligned}-\int_{\alpha }^0 f(x)dx &=-\int_{\alpha }^0 \sin 2\pi x \\ \\ &=\cfrac 1{2\pi }\Big[\cos 2\pi x\Big]_\alpha ^0 \\ \\ &= \cfrac 1{2\pi} \big(1-\cos 2\pi\alpha\big) \end{aligned}$

  음..뭐지?

• $\begin{aligned}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)dx\end{aligned}$도 계산해 두자.

  $\begin{aligned}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)dx &=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\sin 2^n\pi x \\ \\ &= -\cfrac 1{2^n\pi} \Big[\cos 2^n\pi x \Big]_{a_n}^{a_{n+1}} \end{aligned}$

• 뭘 해야하지?

  역시 이제 남은 건 그래프인가?

  

  어?

  $\cfrac 1{2\pi} \big(1-\cos 2\pi\alpha\big)$는 어떤 상수값을 가질 것이고, $y=\cfrac 1{2\pi} \big(1-\cos 2\pi\alpha\big)$의 그래프와 위의 그래프의 교점이 $103$이면 된다!

  그러면! $\cfrac 1{2\pi} \big(1-\cos 2\pi\alpha\big)$의 값이 $a_{52}\le x\le a_{53}$에서의 극댓값이랑 일치하면, 교점의 개수가 $103$이다!

  $\begin{aligned} \int_{a_{52}}^{\frac{a_{52}+a_{53}}{2}}\sin 2^{52}\pi x dx &= -\cfrac 1{2^{52}\pi}\Big[\cos 2^{52}\pi x\Big]_{a_{52}}^{\frac {a_{52}+a_{53}}{2}}\\ \\ &= -\cfrac 1{2^{52}\pi}\big[ -1-1\big] \\ \\ &= \cfrac 1{2^{51}\pi}\end{aligned}$

   

  $\therefore~\cfrac 1{2\pi} (1-\cos 2\pi \alpha )=\cfrac 1{2^{51}\pi}$

  $\therefore~(1-\cos 2\pi \alpha)=\cfrac 1{2^{50}}$

$\therefore~\log_2 (1-\cos 2\pi \alpha )=-50$