2017년 07월 가형 30번

30. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $f(x)$가 있다. 함수 $g(x)$가

일 때, 함수 $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 $x=2$에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 $g(x)$의 최댓값은 $4\sqrt e$이다.

(다) 방정식 $g(x)=4\sqrt e$의 근은 모두 유리수이다.

$|f(-1)|$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=ax^2 +\sim$ (계수는 유리수)
• $g(x)=|f'(x)|e^{f(x)}$
• $g(x)$는 $x=2$에서 극소
• $g(x)$의 최댓값 : $4\sqrt e$
• $g(x)=4\sqrt e$의 근은 모두 유리수

ii. 생각

• $f(x)$의 이차항의 계수가 양수이면 $y=g(x)$는 발산한다!

$\therefore~f(x)=-ax^2 +\sim$ (단, $a>0$)

• $e^{f(x)}>0$임을 생각하면,

  $f'(x)=0$일 때, 극솟값을 $0$을 갖는다!

  $\therefore~y=f(x)$는 $x=2$가 대칭축이다!

$\therefore~f(x)=-a(x-2)^2+b$ (단, $a,~b\in\mathbb Q$)

• 최댓값을 구해보자.

  • 절댓값을 신경쓰지 않기 위해 구간 $x<2$일 때를 생각하자. (어차피 $x=2$에 대해 대칭일테니 뭐 딱히..)

    • $x<2$일 때,

      $g'(x)=\Big(\big\{ f'(x)\big\}^2 +f''(x)\Big)e^{f(x)}$

      계산하면,

      $x=2-\cfrac 1{\sqrt {2a}}$일 때 최댓값을 갖는다.

  그런데, $y=f(x)$의 모든 항의 계수는 유리수이므로

  $\begin{cases} f'\big(2-\cfrac 1{\sqrt{2a}}\big)=4 \\ \\ f\big(2-\cfrac 1{\sqrt{2a}}\big)=\cfrac 12\end{cases}\quad$임을 유추할 수 있다.

  • $f'\big(2-\cfrac 1{\sqrt{2a}}\big)=4$를 이용하면, $a=8\quad \longrightarrow\quad f(x)=-8(x-2)^2 +b$
  • $f\big(2-\cfrac 1{\sqrt{2a}}\big)=\cfrac 12$를 이용하면, $b=1$

$\therefore~f(x)=-8(x-2)^2+1$

$\therefore~|f(-1)|=|-71|=71$