2018학년도 06월 가형 21번

21. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여

라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여

라 하자.

일 때, $f(3)+g(3)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=x^4+\sim\quad\longrightarrow\quad F(x)=\ln |f(x)|$
• $g(x)=x^3 +\sim\quad \longrightarrow\quad G(x)=\ln|g(x)\sin x|$
• $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)F'(x)=3,~\lim\limits_{x\to 0} \cfrac {F'(x)}{G'(x)}=\cfrac14$

ii. 생각

• $F'(x)=\cfrac {f'(x)}{f(x)}$

  $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)\cfrac {f'(x)}{f(x)}=3$

  $\Leftarrow\quad f(1)=0$

  극한값을 계산하기 위해서 로피탈의 정리를 이용하자. (교과외 과정이지만, 학원이나 과외에서 빠른 계산을 위해 배워서 써먹고 있겠지?)

  $\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 1} \cfrac {(x-1)f'(x)}{f(x)} &=\lim\limits_{x\to 1} \cfrac {f'(x)+(x-1)f''(x)}{f'(x)} \\ \\ &= 1+\lim\limits_{x\to 1}\cfrac {(x-1)f''(x)}{f'(x)}=3 \end{aligned}$

  $\Leftarrow\quad f'(1)=0,~\lim\limits_{x\to 1} \cfrac {(x-1)f''(x)}{f'(x)}=2$

  어..또 해야하네. $f(x)$는 사차함수니까 $f''''(x)=0$

  $\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 1}\cfrac{(x-1)f''(x)}{f'(x)}&= \lim\limits_{x\to 1} \cfrac{f''(x)+(x-1)f'''(x)}{f''(x)}\\ \\ &=1+\lim\limits_{x\to 1}\cfrac {(x-1)f'''(x)}{f''(x)}=2 \end{aligned}$

  $\Leftarrow\quad f''(1)=0,~\lim\limits_{x\to 1}\cfrac{(x-1)f'''(x)}{f''(x)}=1$

  아오... 한 번 더....

  $\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 1}\cfrac {(x-1)f'''(x)}{f''(x)}&= \lim\limits_{x\to 1}\cfrac {f'''(x)+(x-1)f''''(x)}{f'''(x)}\\ \\ &=1+0\end{aligned}$

  끝났다!

  $f(1)=f'(1)=f''(1)=0$

  $\therefore~f(x)=(x-1)^3 (x-a)$로 생각할 수 있다.

• $G'(x)=\cfrac{g'(x)\sin x +g(x)\cos x}{g(x)\sin x }=\cfrac{g'(x)}{g(x)} +\cfrac{\cos x}{\sin x}$

  $\lim\limits_{x\to 0}\cfrac{F'(x)}{G'(x)}=\cfrac 14$를 이용하자.

  $\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0} \cfrac {f'(x)}{f(x)} \times \cfrac 1{\cfrac{g'(x)}{g(x)} +\cfrac{\cos x}{\sin x}}\end{aligned}=\cfrac 14$

  그런데, $f'(x)=3(x-1)^2 (x-a)+(x-1)^3$이고, $f(0)=a,~f'(0)=-3a-1$

  뒤에 곱해진 식을 보면, $\cfrac{\cos x}{\sin x}$는 $x\to 0$일 때 발산한다. 그런데 문제에서는 수렴시켜야 하는데?

   

  $a=0$이면?$\Rightarrow\quad \cfrac{x\cos x}{\sin x }$가 되고 수렴가능해진다? 이건가?

  $f(x)=(x-1)^3 x$라 하면,

  $f'(x)=(x-1)^2 (4x-1)$

  대입하자.

  $\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0} \cfrac {(x-1)^2(4x-1)}{(x-1)^3}\times \cfrac 1{\cfrac {xg'(x)}{g(x)}+\cfrac {x\cos x}{\sin x}} &= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac 1{\cfrac {xg'(x)}{g(x)}+\cfrac {x\cos x}{\sin x}} =\cfrac 14\end{aligned}$

  오...계산상의 편의를 위해서

  $\lim\limits_{x\to 0}\cfrac {xg'(x)}{g(x)}+\cfrac{x\cos x}{\sin x} =4$이고, $\lim\limits_{x\to 0}\cfrac {xg'(x)}{g(x)} =3$

   

  어랏?

  $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)\cfrac {f'(x)}{f(x)}=3$

  $\lim\limits_{x\to 0}x\cfrac {g'(x)}{g(x)}=3$

  $g(x)=x^3$이네. (뭐 못 알아차려도 위 과정을 반복하면 똑같이 나오니까)

$\therefore~f(x)=(x-1)^3 x ,~g(x)=x^3$

$\therefore~f(3)+g(3)=24+27=51$