30. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 가 있다. 함수 가
일 때, 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 는 에서 극솟값을 갖는다.
(나) 함수 의 최댓값은 이다.
(다) 방정식 의 근은 모두 유리수이다.
의 값을 구하시오.
i. 정리
(계수는 유리수) 는 에서 극소 의 최댓값 : 의 근은 모두 유리수
ii. 생각
의 이차항의 계수가 양수이면 는 발산한다!
(단, )
임을 생각하면,
일 때, 극솟값을 을 갖는다!
는 가 대칭축이다!
(단, )
최댓값을 구해보자.
절댓값을 신경쓰지 않기 위해 구간
일 때를 생각하자. (어차피 에 대해 대칭일테니 뭐 딱히..)
일 때,
계산하면,
일 때 최댓값을 갖는다. 그런데,
의 모든 항의 계수는 유리수이므로
임을 유추할 수 있다.
를 이용하면, 를 이용하면,
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