2017년 03월 가형 30번

30. 그림과 같이 제$1$사분면에 있는 점 $P(a,~2a)$에서 곡선 $y=-\cfrac 2x$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $A,~B$라 할 때, $\overline{PA}^2 +\overline{PB}^2+\overline{AB}^2$의 최솟값을 구하시오.

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i. 생각

• 접점의 좌표를 $\big(t,~-\cfrac 2t\big)$라 하자.

• $y=-2x^{-1}\quad\longrightarrow\quad y'=2x^{-2}$

• 접선의 방정식

  $y=\cfrac 2{t^2}(x-t)-\cfrac 2t\quad \longrightarrow \quad y=\cfrac 2{b^2 }x -\cfrac 4b$

  이 직선이 $(a,~2a)$를 지난다.

  정리하면,

  $2at^2 +4t -2a=0$

• $t=t_1,~t_2$라 하면, ($t_1<t_2$) $A(t_1 ,~-\cfrac 2{t_1}),~B(t_2,~-\cfrac 2{t_2})$

• $\overline{PA}$와 $\overline{PB}$의 식은 $t_1,~t_2$만 바뀔 것이다? 오! 근과 계수와의 관계를 사용할 수 있겠다.

ii. 계산

$\begin{aligned} \overline{AB}^2 &=(t_2-t_1)^2 +(-\cfrac 2{\beta_2}+\cfrac 2{\beta_1})^2\\ \\ &=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2+4\big(\cfrac {t_1-t_2}{t_1t_2}\big)^2 \\ \\ &= (t_1+t_2)^2-4t_1t_2 +4\cfrac{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}{(t_1t_2)^2} \\ \\ &=\cfrac 4{a^2} +4+4\cfrac{\cfrac{4}{a^2}+4}{1}\\ \\ &= \cfrac{20}{a^2}+20\end{aligned}$

$\begin{aligned} \overline{PA}^2&=(a-t_1)^2 +4(a+\cfrac 1{t_1})^2 \\ \\ &= 5a^2 -2at_1+t_1^2+8\cfrac a{t_1}+\cfrac 4{t_1^2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \overline{PB}^2&= 5a^2 -2at_2+t_2^2+8\cfrac a{t_2}+\cfrac 4{t_2^2} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{PA}^2+\overline{PB}^2&= 10a^2 -2a(t_1+t_2)+(t_1+t_2)^2-2t_1t_2+8a\big(\cfrac {t_1+t_2}{t_1t_2}\big)+4\big(\cfrac{t_1^2+t_2^2}{t_1^2t_2^2}\big) \\ \\ &= 10a^2+4+\cfrac 4{a^2}+2+8a\cfrac 2a+4(\cfrac 4{a^2}+2) \\ \\ &= 10a^2+\cfrac{20}{a^2}+30\end{aligned}$

$\therefore~\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{AB}^2=10a^2 +\cfrac {40}{a^2}+50$

그런데, $a>0$이므로 산술기하평균을 쓰자! (최대최소는 바로 미분을 생각하기에 앞서, 절대부등식부터 떠올려보면서 가는 순서를 습관화 하도록 하자. 그럼 해설 보고 "아아아!" 외치는 경우가 없어진다.)

$10a^2 +\cfrac {40}{a^2}\ge 2\sqrt{10a^2 \times \cfrac {20}{a^2}}=40$이고 $10a^2 =\cfrac {20}{a^2}$을 만족하는 양수는 존재한다!

$\therefore~ \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{AB}^2\ge 90$