2017년 03월 가형 21번

21. 구간 $[0,~1]$에서 정의된 연속함수 $f(x)$에 대하여 함수

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $F(x)=f(x)-x$

(나) $\begin{aligned} \int_0^1 F(x)dx =e-\cfrac 52\end{aligned}$

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $F(1)=e$

ㄴ. $\begin{aligned} \int_0^1 xF(x)dx =\cfrac 16\end{aligned}$

ㄷ. $\begin{aligned} \int_0^1 \Big\{F(x)\Big\}^2 dx =\cfrac 12 e^2 -2e+\cfrac{11}6\end{aligned}$

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i. 정리

• $F(0)=0\quad \longrightarrow\quad f(0)=0$

• 미분하면, $f(x)=f'(x)-1$

  $F(x)$는 주어진 조건에서 미분가능하다!

ii. ㄱ

• 주어진 식을 활용할 생각으로 뚫어지게 쳐다보면, (가)식을 적분하고 싶다!

  $\begin{aligned} \int_0^1 F(x)dx &=\int_0^1 \big\{ f(x)-x\big\}dx \\ \\&=F(1)-\cfrac 12 \end{aligned}$

  오호! 조건 (나)를 대입하면,

$\therefore~F(1)=e-2$

False

iii. ㄴ

• 마찬가지로 이제는 감이 온다!

  $xF(x)=xf(x)-x^2$을 적분하자.

  $\begin{aligned}\int_0^1 xF(x)dx &=\int_0^1 xf(x)dx -\cfrac 13 \\ \\ &=\Big[xF(x)\Big]_0^1-\int_0^1 F(x)dx -\cfrac 13 \\ \\ &= F(1)-(e-\cfrac 52)-\cfrac 13 \\ \\ &= \cfrac 16\end{aligned}$

True

iv. ㄷ

• $\big\{F(x)\big\}^2=F(x)\big\{f(x)-x\big\}$으로 생각하자.

  $\begin{aligned}\int_0^1 \big\{F(x)\big\}^2 dx &= \int_0^1 F(x)f(x)dx -\int_0^1 xF(x)dx \\ \\ &\Longleftarrow\quad F(x)=t\text{로 치환하자.}\\ \\ &= \int_0^{e-2} tdt -\cfrac 16 \\ \\ &= \cfrac 12 (e-2)^2-\cfrac 16 \\ \\ &= \cfrac 12 e^2-2e+\cfrac {11}6 \end{aligned}$

True