2018학년도 11월 나형 30번

30. 이차함수 $f(x)=\cfrac {3x-x^2}2$에 대하여 구간 $[0,~\infty)$에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0\le x<1$일 때, $g(x)=f(x)$이다.

(나) $n\le x<n+1$일 때, $g(x)=\cfrac 1{2^n} \Big\{f(x-n)-(x-n)\Big\}+x$이다. (단, $n$은 자연수이다.)

어떤 자연수 $k(k\ge 6)$에 대하여 함수 $h(x)$는

이다. 수열 $\big\{a_n\big\}$을 $\begin{aligned} a_n=\int_0^n h(x)dx\end{aligned}$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to \infty} \big(2a_n-n^2\big)=\cfrac {241}{768}$이다. $k$의 값을 구하시오.

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i. 정리

와우....딱히 정리할 건...

ii. 생각

• 아무래도 막무가내로 접근해서는 안 될 듯 하다.

• $g(x)$의 의미와 $2x-g(x)$의 의미를 살펴봐야할 듯 하다.

• $f(x-n)-(x-n)$이 상당히 거슬린다?

  $j(x)=f(x)-x$라 하면,

  $n\le x <n+1$일 때, $g(x)=\cfrac 1{2^n} j(x-n)+x$

  어? 뭔가 있을 듯 한데...

  $j(n)=n,~j(n+1)=n+1$

• 이를 토대로 $g(x)$의 개형을 유추하자.

  

  이런식으로 조금씩 위로 삐져나오는구나.

• $2x-g(x)$는?

  $2x-\cfrac 1{2^n}j(x-n)-x=x-\cfrac 1{2^n}j(x-n)$

  헐..딱 반대로 나오겠네.

  

• 이제 $a_n$을 생각하자.

  그나마 편히 구할 수 있는 방법은 일일이 계산하는 것보다 $y=x$를 활용하는 것일테다.

  길이가 $n$인 직각이등변삼각형의 넓이에서 위로 볼록하게 튀어나온 부분과 아래로 오목하게 들어간 부분의 넓이들을 처리하면 될 거 같다.

  (위로 볼록은 $g(x)-x$일 것이고 아래로 오목한 부분은 $x-g(x)$가 된다.)

   

  • 삼각형의 넓이는 $\cfrac 12n^2$

  • 구간 $[0,~1)$에서는 $\begin{aligned} \int_0^1 \big\{g(x)-x\big\}dx \end{aligned}$

    어? $j(x)$네?

    이거 왠지 계산 나름 좀 편해질 거 같은데?

  • 구간 $[1,~2)$를 생각해보자.

    $\begin{aligned} \int_1^2 \cfrac 12 j(x-1)dx \end{aligned}$

    $t=x-1$로 치환하면,

    $\begin{aligned} \cfrac 12 \int_0^1 j(x)dx \end{aligned}$

    오호라..규칙이 나왔다.

  • 아래로 오목한 생각하자.

    $\begin{aligned} \int_5^6 \big\{x-g(x)\big\} dx &=-\cfrac 1{2^5} \int_5^6 j(x-5)dx \\ \\ &= -\cfrac 1{2^5} \int_0^1 j(x)dx \end{aligned}$

    으흐흐흐 등비수열가지고 장난친거구나..

iii. 계산

• $\begin{aligned} j(x)=\cfrac 12 (x-x^2)\quad\longrightarrow\quad \int_0^1 j(x)dx =\cfrac 12 \cdot \cfrac 16 \end{aligned}$
• $\begin{aligned} \int_0^4 \big\{g(x)-x\big\}dx=\cfrac 16 \big(\cfrac 12 +\cfrac 1{2^2} +\cdots +\cfrac 1{2^4}\big) \end{aligned}$
• $\begin{aligned} \int_5^k \big\{x-g(x)\big\} dx =-\cfrac 16 \big( \cfrac 1{2^5}+\cdots +\cfrac 1{2^k}\big) \end{aligned}$
• $\begin{aligned} \int_k^n \big\{g(x)-x\big\} dx =\cfrac 16\big(\cfrac 1{2^{k+1}}+\cdots +\cfrac 1{2^{n+1}}\big)\end{aligned}$

등비수열의 합을 이용하여 계산하고 정리하면, 더러..어?

$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=$등비수열로 이루어진 식들.... 한번에 계산하자.

$\therefore~\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\cfrac 13\big(\cfrac {15}{2^4}+\cfrac 1{2^{k-1}}\big)=\cfrac {241}{768}$

계.산.생.략.

$\cfrac 1{2^{k-1}}=\cfrac 1{2^8}$

$\therefore~k=9$