2017학년도 11월 가형 30번

30. $x>a$에서 정의된 함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $-1$인 사차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$는 상수이다.)

(가) $x>a$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$이다.

(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha,~\beta$에 대하여 함수 $f(x)$는 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$을 갖는다.

(다) 함수 $f(x)$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 개수는 함수 $g(x)$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 개수보다 많다.

$\beta-\alpha =6\sqrt 3$일 때, $M$의 최솟값을 구하시오.

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i. 정리

• $a<x\quad \longrightarrow \quad f(x)$ 정의
• $g(x)=-x^4 +\sim$
• $a<x\quad \longrightarrow\quad (x-a)f(x)=g(x)$
• $\alpha \neq \beta \quad \longrightarrow\quad f(x)$는 $x=\alpha,~\beta$에서 극댓값 $M>0$
• $f(x)$의 극값의 개수$>g(x)$의 극값의 개수
• $\beta-\alpha=6\sqrt 3$

ii. 생각

• $g(a)=0$일까?

  그런데, $f(x)$가 다항함수라고 하기에는 껄끄럽고...

  $f(x)$는 $x=a$에서 정의되지 않는다는 것이니까...

  $g(a)=0$이건 말건 상관이 없어 보인다?

• $g(x)=f(x)(x-a)$

  어? 어? 어?

  $y=f(x)(x-a)$를 좀 살펴보면, $y=m(x-a)$

  어?

  기울기가 $f(x)$이고 $(a,~0)$을 지나는 직선이다?

  신박한 걸?

  좀 풀어쓰면,

  $f(x)= (\gamma,~g(\gamma))$와 $(a,~0)$의 기울기

• 그럼 이제 조건에 맞춰서 그래프를 대충 그려볼까?

  

  와...그래프 그리는데에만 푼 시간 보다 더 걸려....

  아무튼.... 이런 형태가 나오는 것이겠다.

  그런데, $g(x)$의 극값은 $3$개, $f(x)$의 극값도 $3$개다. 이는 조건에 위배된다.

  $\therefore~g(x)$의 극값은 $0,~1,~2$개가 나와야 하고 $4$차함수이므로, $1$개인 경우다. 아오...드러워.

• 이제 다시 조건에 맞춰서 그래프를 그려보자.

  

  • $f(x)$의 극값의 개수는 $3$
  • $g(x)$의 극값의 개수는 $1$

  이제 이 그래프의 조건에 맞춰서 풀면 되겠다...

iii. 생각2

다행히도 문제가 $f(x)$를 구하는 것이 아니라 최댓값 $M$을 구하는 것이니까,

$g(x)=M(x-a)$로 둘 수 있다. 그리고 이 방정식의 근은 $x=\alpha,~\beta$이고 각각 중근이다.

$\therefore~g(x)-M(x-a)=-(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2$

이제 해야할 것은? 미분!!!!!

계.산.생.략.

$g'(x)=-4(x-\alpha )(x-\beta)(x-\cfrac{\alpha +\beta}2)+M$

이제 무엇을 해야 할까나? 그간 구한 것을 보면 $g'(x)$의 극값은 오직 $1$개만 나와야 한다. 즉, $g'(x)$는 한 개의 중근과 다른 실근을 가져야 한다.

아이고 의미없다.

$h(x)=-4(x-\alpha)(x-\beta)(x-\cfrac{\alpha+\beta}2)$로 두고 $M$을 조절해서 찾아야겠다.

$x=\alpha ,~\cfrac {\alpha+\beta}2,~\beta$

어차피 필요한 건 $h(x)$의 극댓값 또는 극솟값이다?

$\beta-\alpha=6\sqrt 3$

계산하기 편하게 $\alpha =-3\sqrt 3,~\beta =3\sqrt 3$으로 두면 되곘네.

곧곧에 함정이네...

$h(x)=-4x(x-3\sqrt 3)(x+3\sqrt 3)$으로 볼 수 있고, 극값을 찾자.

$h'(x)=-12(x+3)(x-3)$

(당연히 계.산.생.략.)

$M$의 최솟값은 당연히 $-h(-3)$이겠다?

$h(x)$의 그래프를 그려보는 건 생략함...

$\therefore~M=-h(-3)=216$