2017학년도 11월 가형 21번

21. 닫힌 구간 $[0,~1]$에서 증가하는 연속함수 $f(x)$가

를 만족시킨다. 함수 $F(x)$가

일 때, $\begin{aligned} \int_0^1 f(x)F(x)dx\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $\begin{aligned} \int_0^1 f(x)dx =2\end{aligned}$
• $\begin{aligned} \int_0^1 |f(x)|dx =2\sqrt 2\end{aligned}$
• $\begin{aligned} F(x)=\int_0^x |f(t)|dt\end{aligned}$

ii. 생각

• $\begin{aligned} \int_0^1 f(x)dx<\int_0^1 |f(t)|dt\end{aligned}$

  대충 그래프를 그려보면,

  

  편의상 $\begin{aligned} \int_0^{\alpha} f(x)dx =-A,~\int_{\alpha}^1 f(x)dx =B\end{aligned}$이라 하자.

  • $\begin{cases} -A+B=2 \\ \\ A+B=2\sqrt 2\end{cases}\quad \longrightarrow \quad \begin{cases} A=\sqrt 2 -1 \\ \\ B=\sqrt 2 +1\end{cases}$

• $F(x)$도 조금 더 자세히 표현할 수 있다!

  $F(x)=\begin{cases}\begin{aligned} -\int_0^{x} f(t)dt&=h_1(x) &(0\le x< \alpha)\\ \\ \ A+\int_{\alpha}^x f(t)dt&=h_2(x)+A &(\alpha \le x \le 1)\end{aligned} \end{cases}$

  $F(\alpha )=A,~F(1)=A+B$임을 알 수 있다.

   

  어? 보이지? 보인다?

   

  $F'(x)=\begin{cases} -f(x)=h_1'(x) &(0\le x<\alpha)\\ \\ f(x)=h_2'(x)&(\alpha \le x\le 1)\end{cases}$

iii. 계산

• $\begin{aligned} \int_0^1 f(x)F(x)dx =\int_0^{\alpha}f(x)F(x)dx +\int_{\alpha }^1 f(x)F(x)dx\end{aligned}$

  $\begin{aligned} \int_0^{\alpha} f(x)F(x)dx &=\int_0^{\alpha} f(x) h_1(x)dx \\ \\ &=-\cfrac 12 \Big[\big(h_1(x)\big)^2\Big]_0^{\alpha} \\ \\ &=- \cfrac 12 A^2 \end{aligned}$

  $\begin{aligned}\int_{\alpha }^1 f(x)F(x)&=\int_{\alpha}^1 f(x)\Big\{ A+\int_{\alpha}^x f(x)dx \Big\}dx \\ \\ &= A\int_{\alpha }^1f(x)dx +\int_{\alpha}^1 f(x)h_2(x)dx \\ \\ &= AB+\cfrac 12\Big[ \big(h_2(x)\big)^2\Big]_{\alpha}^1 \\ \\ &=AB+\cfrac 12 B^2\end{aligned}$

$\begin{aligned}\therefore~ \int_0^1 f(x)F(x)dx &= AB+\cfrac 12 (B+A)(B-A) \\ \\ &= 1+\cfrac 12 \cdot 2\sqrt 2 \cdot 2 \\ \\ &= 1+2\sqrt 2 \end{aligned}$