2017년 07월 나형 29번

29. 그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $P_n(n,~n^2)$에서의 접선을 $l_n$이라 하고, 직선 $l_n$이 $y$ 축과 만나는 점을 $Y_n$이라 하자. $x$ 축에 접하고 점 $P_n$에서 직선 $l_n$에 접하는 원을 $C_n$, $y$ 축에 접하고 점 $P_n$에서 직선 $l_n$에 접하는 원을 $C_n'$이라 할 때, 원 $C_n$과 $x$ 축과의 교점을 $Q_n$, 원 $C_n'$과 $y$축 과의 교점을 $R_n$이라 하자.

$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac{\overline{OQ_n}}{\overline{Y_nR_n}}=\alpha$라 할 때, $100\alpha$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점이고, $Q_n$의 $x$ 좌표와 점 $R_n$의 $y$ 좌표는 양수이다.)

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i. 정리

• $P_n(n,~n^2)\quad\longrightarrow\quad$접선 $l_n$
• $l_n$의 $y$ 절편$\Rightarrow Y_n$
• $x$축, $P_n,~l_n$에 접하는 원 $C_n\quad\longrightarrow\quad x$축 $Q_n$
• $y$축, $P_n,~ln$에 접하는 원 $C_n'\quad\longrightarrow\quad y$축 $R_n$

ii. 생각

• 우선 할 수 있는 것부터 하자.

  • $l_n~:~y=2nx-n^2\quad\longrightarrow\quad Y_n(0,~-n^2)$

  • 원의 외접선 성질에 따라, $\overline{Y_nR_n}=\overline{Y_nP_n}$

    • $(0,~-n^2),~(n,~n^2)$의 거리

    $\therefore~\overline{Y_nR_n}=\sqrt{n^2+4n^4}$

  • 어랏? $l_n$의 $x$절편을 $N_n$이라 하면, $\overline{N_nQ_n}=\overline{N_nP_n}$이고, $\overline{OQ_n}=\overline{ON_n}+\overline{N_nQ_n}$

    $N_n(\cfrac n2,~0)$이고 이를 이용하여 계산하면,

    $\overline{OQ_n} =\cfrac n2+\cfrac 12 \sqrt{n^2+4n^4}$

뭐야 문제만 그냥 복잡해 보였을 뿐이네...역시 문과....

• 이제 계산하자.

  $\begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty} \cfrac{\overline{OQ_n}}{\overline{Y_nR_n}}&= \lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {\cfrac 12 \big(n+\sqrt {n^2+4n^2}}{\sqrt{n^2+4n^4}}\\ \\ &=\cfrac 12 \end{aligned}$

$\therefore~100\alpha =50$