2017년 04월 가형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$와 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=0$의 실근은 $0$과 $2$ 뿐이고 허근은 존재하지 않는다.

(나) $\lim\limits_{x\to 2} \cfrac {(x-2)^3}{f(x)}$이 존재한다.

(다) 함수 $\Big|\cfrac {g(x)}x\Big|$은 $x=\cfrac 54$에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 $g(x)$의 극솟값을 $k$라 할 때, $27k$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$
• $f(x)=x^a (x-2)^b\quad$(단, $b=1,~2,~3,~a=1,~2,~3,~\cdots)$
• $h(x)=\cfrac{g(x)}x$라 하면, $|h(x)|$는 $x=\cfrac 54$에서 연속이고 미분가능하지 않다.

ii. 생각

• 조건 (다)를 생각하면, $h\big(\cfrac 54)=0$이고, $h'\big(\cfrac 54\big)\neq 0$이면 된다.

• $h\big(\cfrac 54)=0$

  $h(\cfrac 54)=0\quad \longrightarrow\quad g(\cfrac 54)=0\quad \longrightarrow\quad \cfrac {f(\cfrac 54)}{f'(\cfrac 54)}=\cfrac 54$

  $4 f(\cfrac 54)=5f'(\cfrac 54)$

  $f'(x)=ax^{a-1}(x-2)^b +bx^a(x-2)^{b-1}$

   

  계산하면,

  $4\big(\cfrac 54\big)^a \big(-\cfrac 34\big)^b=5\Big(a\big(\cfrac 54)^{a-1} \big(-\cfrac 34\big)^b+b\big(\cfrac 54 \big)^a \big(-\cfrac 34\big)^{b-1}\Big)$

  헐....어디보자...식을 보니 경우를 좀 나눠야겠다.

  • $b=1$일 때,

    $-3\big(\cfrac 54\big)^a =5\big( a (\cfrac 54)^{a-1} (-\cfrac 34)+(\cfrac 54)^a\big)$

    • $a=1$이면

      $-\cfrac {15}4=5(-\cfrac 34 +\cfrac 54)$

      성립하지 않는다.

    • $a\neq 1$이면,

      양변을 $\big(\cfrac 54\big)^a$로 나누면,

      $-3=5(a\cfrac 45\times -\cfrac 34 +1)$

      $-3=-3a+5\quad \longrightarrow\quad a=\cfrac 83$

      조건에 위배

    우선 $b\neq 1$임을 알았고..

  • $a=1$이면? ($b\neq 1$)

    $5(-\cfrac 34)^b =5((-\cfrac 34)^b+\cfrac 54 b (-\cfrac 34)^{b-1})$

    양변을 $(-\cfrac 34)^b$로 나누면

    $5=5(1+\cfrac 54 b -\cfrac 34)$

    $1=\cfrac 14+\cfrac 54b$

    조건에 위배

  $\therefore a\neq 1,~b\neq 1$

  그러면,

  $f'(x)=x^{a-1} (x-2)^{b-1} \big\{ a(x-2)+bx\big\}$

  $4(\cfrac 54)^a (-\cfrac 34)^b =5(\cfrac 54)^{a-1}(-\cfrac 34)^{b-1} \big\{ a(-\cfrac 34)+b\cfrac 54\big\}$

  양변을 $(\cfrac 54)^a(-\cfrac 34)^b$로 나누자!

  $4=5\times\cfrac 45\times -\cfrac 43\big\{ -\cfrac 34a+\cfrac 54b\big\}$

  $3=3a-5b$

  $a= 1+\cfrac 53b$

   

  $\therefore~b=3,~a=6$

  그리고 유일하다...그럼 미분을 해볼 필요가 없....?

$\therefore~f(x)=x^6(x-2)^3$

iii. 계산

계.산.생.략

$g(x)=\cfrac 23\cdot \cfrac {x(4x-5)}{3x-4}$

$g'(x)=\cfrac 23 \cdot \cfrac {12x^2 -32x +20}{(3x-4)^2}$

$x=1,~\cfrac 53$에서 극값이 발생하고 극솟값은 $x=\cfrac 53$에서 발생한다.

$g(\cfrac 53)=50$

아오...계산 드러워...