2017년 10월 가형 21번

21. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 $AB$ 위의 점 $P$에 대하여 두 점 $A,~P$를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다.

$\angle PAB=\theta$일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 $S(\theta)$라 하자. $\theta=\alpha$에서 $S(\theta)$가 최댓값을 갖는다고 할 때, $\cos 2\alpha$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 보조선을 긋자.

  $\angle CAP=\angle PAB=\theta$

  원의 중심을 $O$라 하자.

• $S(\theta)$의 넓이는 점 $A$와 호 $CP$로 이루어진 도형의 넓이와 같다.

• $S(\theta)$를 구하자.

  $AOPC$로 이루어진 도형의 넓이에서 $\triangle AOP$의 넓이를 빼면 된다.

  $\begin{aligned}S(\theta)&=\cfrac 12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin (\pi-4\theta)+\cfrac 12\cdot 1^2 \cdot 2\theta -\cfrac 12 \cdot 1\cdot 1\sin (\pi -2\theta) \\ \\ &=\cfrac 12 \sin 4\theta +\theta -\cfrac 12 \sin 2\theta \end{aligned}$

• $S'(\theta)$를 계산하자.

  $\begin{aligned} S'(\theta)&= 2\cos 4\theta +1-\cos 2\theta \\ \\ &= 2(\cos (2\theta+2\theta)+1-\cos 2\theta \\ \\ &= 2\big(\cos^2 2\theta -\sin^2 2\theta \big)+1-\cos 2\theta \\ \\ &= 2\big(\cos^2 2\theta -(1-\cos^2 2\theta )\big)+1-\cos 2\theta \\ \\ &= 4\cos ^2 2\theta -\cos 2\theta -1\end{aligned}$

  편의상 $\cos 2\theta =t$라 하면,

  $t=\cfrac {1\pm \sqrt {17}}8$

  그런데, $0<\theta <\cfrac{\pi}4$

  $\therefore~\cos 2\theta =\cfrac {1+\sqrt {17}}8$