2018학년도 11월 가형 21번

21. 양수 $t$에 대하여 구간 $[1,~\infty)$에서 정의된 함수 $f(x)$가

일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 $g(x)$ 중에서 직선 $y=g(x)$의 기울기의 최솟값을 $h(t)$라 하자.

$1$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-e)\big\{g(x)-f(x)\big\}\ge 0$이다.

미분가능한 함수 $h(t)$에 대하여 양수 $a$가 $h(a)=\cfrac 1{e+2}$을 만족시킨다. $h'\Big(\cfrac 1{2e}\Big)\times h'(a)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=\begin{cases} \ln x &(1\le x<e)\\ \\ -t+\ln x &(x\ge e)\end{cases}$

• $g(x)=mx+n\quad (m,~n\in\mathbb R)$

  $m_{min}=h(t)$, 미분가능

• $1\le x\quad \longrightarrow\quad (x-e)\big\{g(x)-f(x)\big\}\ge 0$

• $a>0,~h(a)=\cfrac 1{e+2}$

ii. 생각

• $y=f(x)$의 그래프를 대충 그리고 생각해야겠다?

  

• $1\le x\quad \longrightarrow\quad (x-e)\big\{g(x)-f(x)\big\}\ge 0$를 살펴보자.

  • $1\le x<e$일 때,

    $g(x)-f(x)\le 0\quad \longrightarrow\quad g(x)\le f(x)$

  • $e\le x$일 때,

    $g(x)-f(x)\ge 0\quad \longrightarrow\quad g(x)\ge f(x)$

  $y=g(x)$는 $f(x)$ 사이에 존재하는 걸 알 수 있다.

• $y=g(x)$의 기울기가 최소가 되기 위해서는?

  • 우선 대충 그려본 그래프로는 $(1,~0)$을 지나고 $e\le x$ 에서 $y=f(x)$와 접할 때?

  • 어..너무 순순한데? 뭐 특이할만한 점은 없을까?

    만일, $x=e$에서의 접선이 $(1,~0)$을 지나면?

    

    이 때의 $t=\alpha$라 하면, $t <\alpha$에서는 그냥 $(1,~0),~(e,~1-t)$를 지나는 직선의 기울기가 최솟값일 것이다!

iii. 계산

• 방금 말한 $t=\alpha$를 찾자.

  $e\le x$에서 $f'(x)=\cfrac 1x$

  두 점 사이의 기울기와 $(e,~1-t)$의 접선의 기울기가 같아야 한다.

  $\cfrac 1e =\cfrac{1-\alpha}{e-1}$

  $1-\alpha =1-\cfrac 1e\quad \longrightarrow\quad \alpha =\cfrac 1e$

• $\cfrac 1e <t$인 경우를 찾자.

  $(1,~0)$에서 $y=f(x)$에 그은 접점의 좌표를 $(k,~\ln k-t)$라 하자.

  $y=\cfrac 1k (x-1)$로 표현할 수 있고, 이 직선은 $(k,~\ln k -t)$를 지나야한다.

  $\Leftarrow\quad h(t)=\cfrac 1k$

  $\ln k-t =\cfrac 1k -1$

  이 식을 $h(t)$로 표현하자. 아무래도 깔끔한 식이 아닌 관계식이 나올 듯 하다...

  $\ln \cfrac 1{h(t)} -t=h(t)-1\quad \longrightarrow\quad -\ln h(t)-t=h(t)-1$

• $t<\cfrac 1e$인 경우는? 짜증나게 문제에서 $h'\big(\cfrac 1{2e}\big)$를 구하게 시켰다....

  $h(t)=\cfrac {1-t}{e-1}$

  $h'(t)=-\cfrac 1{e-1}$

  $h'\big(\cfrac 1{2e}\big)=-\cfrac 1{e-1}$

• $h'(a)$를 구하자.

  • $h(a)=\cfrac 1{e+2}<\cfrac 1e$ 이므로 $a>\cfrac 1e$임은 확실하다.

  • $-\ln h(t)-t=h(t)-1$이 유일한 관계식이네? 뭐 그럼 이걸 미분해야지.

    $-\cfrac{h'(t)}{h(t)}-1=h'(t)\quad\longrightarrow \quad h'(t)\Big(1-\cfrac 1{h(t)}\Big)=1$

     

    $h'(a)\Big(1-\cfrac 1{h(a)}\Big)=1$

    $h(a)=\cfrac 1{e+2}$를 대입하면,

    $\therefore~h'(a)=-\cfrac 1{e+1}$

$\therefore~h'\big(\cfrac 1{2e}\big)\times h'(a)=\cfrac 1{(e-1)(e+1)}$