2018년 03월 가형 20번

20. 함수 $\begin{array}{r}f(x)={\int }_0^x\sin (\pi \cos t)dt\end{array}$$\begin{aligned} f(x)=\int_0^x \sin \big(\pi \cos t\big)dt\end{aligned}$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f^{\prime }(0)=0$$f'(0)=0$

ㄴ. 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

ㄷ. $f(\pi )=0$$f(\pi)=0$

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i. 정리

• $x=0$$x=0$을 대입하면, $f(0)=0$$f(0)=0$

• 적분은...차마.....

• 미분하자.

  $f^{\prime }(x)=\sin (\pi \cos x)$$f'(x)=\sin \big(\pi \cos x\big)$

ii. 생각

• ㄱ

  $f^{\prime }(0)=\sin (\pi \cos 0)=\sin \pi =0$$f'(0)=\sin\big(\pi \cos 0\big) =\sin\pi =0$

  True

• ㄴ

  미분을 해도 그릴 자신이 없다...

  • $f(0)=0$$f(0)=0$

  • $f(x)=-f(-x)⟶f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)$$f(x)=-f(-x)\quad \longrightarrow \quad f'(x)=f'(-x)$

    $\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(-x)& =\sin (\pi \cos (-x))\\ \\ & =\sin (\pi \cos x)\\ \\ & =f^{\prime }(x)\end{array}$$\begin{aligned} f'(-x)&=\sin \big(\pi \cos (-x)\big)\\ \\ &=\sin\big(\pi\cos x\big)\\ \\ &=f'(x)\end{aligned}$

  True

• ㄷ

  • $f(-x)=-f(x)$$f(-x)=-f(x)$를 이용하겠지?

    $f(-\pi )=-f(\pi )$$f(-\pi)=-f(\pi)$

    $\begin{array}{r}f(-\pi )={\int }_0^{-\pi }\sin (\pi \cos t)dt\end{array}$$\begin{aligned} f(-\pi)=\int_0^{-\pi}\sin(\pi\cos t )dt \end{aligned}$

    어...흠....치환을 해볼까?

    적분구간을 $\pi$$\pi$로 바꿔치기 하기 위해서는..

    $t=k-\pi$$t=k-\pi$라 하면, 적분 구간은 $\pi \to 0$$\pi\to 0$이고, $dt=dk$$dt=dk$

    $\begin{array}{rl}f(-\pi )& ={\int }_0^{-\pi }\sin (\pi \cos t)dt\\ \\ & ={\int }_{\pi }^0\sin (\pi \cos (k-\pi )dk\\ \\ & ={\int }_{\pi }^0\sin (-\pi \cos k)dk\\ \\ & =-{\int }_{\pi }^0\sin (\pi \cos k)dk\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }\sin (\pi \cos k)dk\\ \\ & =f(\pi )\end{array}$$\begin{aligned} f(-\pi)&=\int_0^{-\pi} \sin (\pi \cos t)dt \\ \\ &= \int_{\pi}^0 \sin (\pi \cos(k-\pi)dk \\ \\ &=\int_{\pi}^0 \sin (-\pi \cos k)dk\\ \\ &=-\int_{\pi}^0 \sin (\pi \cos k)dk \\ \\ &= \int_0^{\pi}\sin(\pi\cos k)dk\\ \\ &= f(\pi)\end{aligned}$

    어랏?

    $f(-\pi )=-f(\pi )=f(\pi )$$f(-\pi)=-f(\pi)=f(\pi)$

    $\therefore f(\pi )=0$$\therefore~ f(\pi)=0$

  True