2018학년도 11월 가형 30번

30. 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$를

이라 할 때, 어떤 홀수 $k$에 대하여 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이고 $g(\alpha)<0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1,~\alpha_2,~\cdots,~\alpha_m$ ($m$은 자연수)라할 때, $\sum\limits_{i=1}^m\alpha_i =45$이다.

$k-\pi^2 \sum\limits_{i=1}^m g(\alpha_i)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

뭐 딱히...문제를 읽을 수록 짜증난다....

ii. 생각

• 우선 $y=f(x)$가 어찌되는 건지 살펴보자.

  

  흠..$g(x)$를 고려해야겠다. 하지만, 우선 $[t-1,~t+1]$ 구간 외에서는 적분값이 $0$이다. 우와....행복하다...

짜증나게 $g(t)$를 미분할 수도 없다. 아....하하하하하하하.

• 적분을 하기에 앞서, 그래프도 그리기 힘드니까 우선 겹쳐서 그려보자.

  중요한 것은 극소값을 찾기 위한 것이니까, 그게 맞춰서 그려보자.

  

  아무래도 두번째 그림일 때가 $f(x)\cos \pi x$를 적분했을 때 극솟값을 가질 것이다.

  아마 최솟값은 적분구간에 $[t-1,~t+1]$이 포함될 경우이고, 극솟값은 $[t-1,~t]$ 또는 $[t,~t+1]$ 구간만 포함되면 가능하다.

어?

그러면, $t=k$일 때가 $\alpha_1$이겠다???

그 다음은, $t=k+2$를 만족할 때일테고, $\alpha_2$겠네? 계속해서 계산하면, $t=k+8=\alpha_5$겠네??

오오오오오!

$\therefore~m=5$

• $\sum\limits_{i=1}^5\alpha_i=45$를 활용하자.

  $\alpha_n$은 등차가 $2$인 등차수열이다. (어..어감이 좀..)

  $S_5=\cfrac {(k+k+8)\times 5}2=45\quad \longrightarrow\quad k=5$

• $\sum\limits_{i=1}^5g(\alpha_i)$를 구하자.

  이거 분명 반복된다...

  $t=\alpha_1$일 때의 값을 $S$라 하면,

  $t=\alpha_2$일 때는 대칭이니까 $2S$가 될 것이다.

  그러면, $\sum\limits_{i=1}^5 g(\alpha_i)=S+2S+2S+2S+S=8S$

  오호라....

• $g(5)$의 값을 구하자.

  $S=g(5)$인 건 이미 알고 있고,

  어차피 적분값만 계산하면 되니까,

  $\begin{aligned}\int_0^1 (1-x)(-\cos \pi x)dx \end{aligned}$을 계산하면 되겠다.

iii. 계산

$\begin{aligned}-\int_0^1 (1-x)\cos \pi xdx &= -\int_0^1 \cos \pi x dx +\int_0^1 x\cos\pi x dx \end{aligned}$

• $\begin{aligned} \int_0^1 \cos \pi x dx\end{aligned}$를 계산하자.

  $\begin{aligned} \int_0^1 \cos \pi x dx&= \cfrac 1{\pi} \Big[\sin \pi x \Big]_0^1=0\end{aligned}$

  어?

• $\begin{aligned} \int_0^1x\cos\pi xdx \end{aligned}$를 계산하자.

  $\begin{aligned} \int_0^1x\cos\pi xdx&= \cfrac 1{\pi} \Big[x\sin \pi x\Big]_0^1-\cfrac 1{\pi} \int_0^1 \sin\pi xdx \\ \\ &= 0+\cfrac 1{\pi^2} \Big[\cos\pi x\Big]_0^1 \\ \\ &= -\cfrac 2{\pi^2} =S\end{aligned}$

$\therefore~\sum\limits_{i=1}^m g(\alpha_i)=-\cfrac {16}{\pi^2}$

$\therefore~k-\pi^2 \sum\limits_{i=1}^5 g(\alpha_i)=5+16=21$