2018년 03월 가형 30번

30. 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x& (0\le x<1)\\ \\ e^{2-x}& (1\le x\le 2)\end{array}\end{array}$$

에 대하여 열린 구간 $(0,2)$$(0,~2)$에서 정의된 함수

$$g(x)={\int }_0^x|f(x)-f(t)|dt$$

의 극댓값과 극솟값의 차는 $ae+b\sqrt[3]{e^2}$$ae+b\sqrt[3]{e^2}$이다. $(ab{)}^2$$(ab)^2$의 값을 구하시오. (단, $a,b$$a,~b$는 유리수이다.)

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i. 정리

라고 하기에는 문제가 곧 조건이네...

ii. 생각

• 우선 $f(x)$$f(x)$의 개형부터 생각하자.

  

  오호 $x=1$$x=1$에 대칭이다!

• $g(x)$$g(x)$에 대해 생각하자.

  $|f(x)-f(t)|$$|f(x)-f(t)|$를 풀어야한다.

  우선 $t\le x$$t\le x$일 것이고 함수의 개형을 보아하니 $\{\begin{array}{l}0\le x<1\\ \\ 1\le x\le 2\end{array}$$\begin{cases} 0\le x<1\\ \\ 1\le x\le 2\end{cases}$를 기준으로 생각하면 되겠다.

  • $0\le x<1$$0\le x<1$인 경우

    $f(x)\ge f(t)$$f(x)\ge f(t)$이므로, $|f(x)-f(t)|=f(x)-f(t)$$|f(x)-f(t)|=f(x)-f(t)$

    $\begin{array}{r}{\int }_0^x\{f(x)-f(t)\}dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^x \big\{f(x)-f(t)\big\} dt\end{aligned}$

  • $1\le x\le 2$$1\le x\le 2$인 경우

    

    그림과 같이 대소관계가 바뀌는 경우가 발생한다. 이를 이용하면,

    $\begin{array}{rl}{\int }_0^x|f(x)-f(t)|dt& ={\int }_0^{2-x}\{f(x)-f(t)\}dt+{\int }_{2-x}^x\{f(t)-f(x)\}dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^x |f(x)-f(t)|dt &= \int_0^{2-x} \big\{f(x)-f(t)\big\} dt +\int_{2-x}^x \big\{f(t)-f(x)\big\}dt\end{aligned}$

    그런데, $x=1$$x=1$에 대해 대칭인 걸 활용하는 것이 아무래도 계산이 편할 듯 한다.

    $\begin{array}{rl}{\int }_{2-x}^x\{f(t)-f(x)\}dt& =2{\int }_1^x\{f(t)-f(x)\}dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_{2-x}^x \big\{f(t)-f(x)\big\} dt &= 2\int_1^x \big\{f(t)-f(x)\big\}dt \end{aligned}$

  $$\begin{array}{c}\therefore g(x)=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^x(f(x)-f(t))dt& (0\le x<1)\\ \\ {\int }_0^{2-x}(f(x)-f(t))dt+2{\int }_1^x(f(t)-f(x))dt& (1\le x\le 2)\end{array}\end{array}$$

• 이제 계산하자...

  아무래도 $g(x)$$g(x)$를 계산한 후에 미분하는 것이 나을 듯 하다....

  계산생략

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1)e^x+1& 0\le x<1\\ \\ (1-3x)e^{2-x}+2e+1& 1\le x\le 2\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} (x-1)e^x +1 &0\le x<1 \\ \\ (1-3x)e^{2-x} +2e+1 &1\le x\le 2\end{cases}$

   

  $\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^x& 0\le x<1\\ \\ (3x-4)e^{2-x}& 1\le x\le 2\end{array}\end{array}$$g'(x)=\begin{cases}xe^x &0\le x<1\\ \\ (3x-4)e^{2-x} &1\le x\le 2 \end{cases}$

  $x=1$$x=1$에서 연속이지만 미분불가능이다.

   

  극댓값은 $x=1$$x=1$에서 , 극솟값은 $x=\frac{4}{3}$$x=\cfrac 43$에서 발생한다.

  $g(1)=1,g(\frac{4}{3})=-3e^{\frac{2}{3}}+2e+1$$g(1)=1,~g(\cfrac 43)=-3e^{\frac 23} +2e+1$

• 극값의 차

  $|g(1)-g(\frac{4}{5})=|3e^{\frac{2}{3}}-2e$$|g(1)-g(\cfrac 45) =|3e^{\frac 23}-2e$|

  뭐 엄밀하게는 $3e^{\frac{2}{3}}$$3e^{\frac 23}$과 $2e$$2e$를 대소비교 해야하지만, 그냥 단순히 $(ab{)}^2$$(ab)^2$을 구하는 것이고, 어찌되었던간에 $ab=-6$$ab=-6$

$\therefore (ab{)}^2=36$$\therefore~ (ab)^2=36$