2018년 04월 가형 21번

21. $\frac{3}{5}<x<4$$\cfrac 35 <x<4$에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$가 $f(1)=2$$f(1)=2$이고

$$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2\{f(x){\}}^3}{x^3\{f(x){\}}^2}$$

을 만족시킨다. 함수 $f(x)$$f(x)$의 역함수 $g(x)$$g(x)$가 존재하고 미분가능할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $g^{\prime }(2)=-\frac{4}{7}$$g'(2)=-\cfrac 47$

ㄴ. $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3\{g(x){\}}^3-\frac{5}{3}$$g(x)=\cfrac 13 x^3 \big\{g(x)\big\}^3 -\cfrac 53$

ㄷ. $2<g(1)<\frac{5}{2}$$2<g(1)<\cfrac 52$

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i. 정리

• $\frac{3}{5}<x<4$$\cfrac 35<x<4$에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$
• $f(1)=2$$f(1)=2$
• $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2\{f(x){\}}^3}{x^3\{f(x){\}}^2}$$f'(x)=\cfrac {1-x^2 \big\{f(x)\big\}^3}{x^3\big\{f(x)\big\}^2}$
• $g(x)=f^{-1}(x)$$g(x)=f^{-1}(x)$이고, 미분가능

ii. 생각

• $g(f(x))=x$$g(f(x))=x$를 이용해서,

  $g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)=1$$g'(f(x))f'(x)=1$이고 $g^{\prime }(f(x))=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$g'(f(x))=\cfrac 1{f'(x)}$

  $x=1$$x=1$을 대입하면,

  $g^{\prime }(f(1))=g^{\prime }(2)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}$$g'(f(1))=g'(2)=\cfrac 1{f'(1)}$

  어랏? 이제 주어진 식에 대입하면 되겠다.

  $f^{\prime }(1)=\frac{1-8}{4}=-\frac{7}{4}$$f'(1)=\cfrac {1-8}{4}=-\cfrac 74$

  $\therefore g^{\prime }(2)=-\frac{4}{7}$$\therefore~ g'(2)=-\cfrac 47$

  ㄱ. True

• ㄴ을 생각하자.

  $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2\{f(x){\}}^3}{x^3\{f(x){\}}^2}$$f'(x)=\cfrac {1-x^2\big\{f(x)\big\}^3 }{x^3 \big\{f(x)\big\}^2}$ 에서 $x$$x$ 대신 $g(x)$$g(x)$를 대입해보자.

  $f^{\prime }(g(x))=\frac{1-x^3\{g(x){\}}^2}{x^2\{g(x){\}}^3}$$f'(g(x))=\cfrac {1-x^3 \big\{g(x)\big\}^2}{x^2 \big\{g(x)\big\}^3}$ 이 되고,

  $f(g(x))=x⟶f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1$$f(g(x))=x\quad \longrightarrow \quad f'(g(x))g'(x)=1$

  $\therefore \frac{1}{g^{\prime }(x)}=\frac{1-x^3\{g(x){\}}^2}{x^2\{g(x){\}}^3}$$\therefore~ \cfrac 1{g'(x)}=\cfrac {1-x^3 \big\{g(x)\big\}^2}{x^2 \big\{g(x)\big\}^3}$

  $g^{\prime }(x)=\frac{x^2\{g(x){\}}^3}{1-x^3\{g(x){\}}^2}$$g'(x)=\cfrac {x^2 \big\{g(x)\big\}^3}{1-x^3 \big\{g(x)\big\}^2}$

  흠....이걸 적분하는 짓은 죽어도 못 하겠다.

  보기에 주어진 식을 미분하자!

  $g^{\prime }(x)=x^2\{g(x){\}}^3+x^3\{g(x){\}}^2{g}^{\prime }(x)$$g'(x)=x^2 \big\{g(x)\big\} ^3 +x^3 \big\{g(x)\big\}^2 g'(x)$이고 이를 정리하면,

  $g^{\prime }(x)=\frac{x^2\{g(x){\}}^3}{1-x^3\{g(x){\}}^2}$$g'(x)=\cfrac{x^2\big\{g(x)\big\}^3}{1-x^3\big\{g(x)\big\}^2}$

  오 일치한다!

  혹시 모르니 $g(2)=1$$g(2)=1$인지도 확인하자.

  $1=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}$$1=\cfrac 83-\cfrac 53$

  True

• ㄷ

  ㄴ의 식이 참이니 이 식에 $x=1$$x=1$을 대입하자.

  $g(1)=\frac{1}{3}\{g(1){\}}^3-\frac{5}{3}$$g(1)=\cfrac 13 \big\{ g(1)\big\}^3 -\cfrac 53$

  식을 보기 쉽게 하기 위해 $t=g(1)$$t=g(1)$로 치환하자.

  $\frac{1}{3}{t}^3-t-\frac{5}{3}=0t^3-3t-5=0$$\cfrac 13 t^3 -t-\cfrac 53=0\quad t^3 -3t -5=0$

  우선, 역함수가 존재하는 함수이므로 근은 오직 $1$$1$개만 존재할 것이다.

  그리고 그냥 근의 구간을 판별하는 것이 전부니까 ,

  $h(t)=t^3-3t-5$$h(t)=t^3 -3t-5$라 하면,

  $h(2)\times h(\frac{5}{2})<0$$h(2)\times h(\cfrac 52)<0$이면 조건이 참이다.

  $h(2)=8-6-5<0$$h(2)=8-6-5<0$

  $h(\frac{5}{2})=\frac{125}{8}-\frac{15}{2}-5=\frac{125-60-40}{8}>0$$h(\cfrac 52)=\cfrac {125}8-\cfrac {15}2-5=\cfrac {125-60-40}{8}>0$

  $\therefore 2<g(1)<\frac{5}{2}$$\therefore~ 2<g(1)<\cfrac 52$

  True