2018년 04월 가형 30번

30. 함수 $f(x)=e^x(a{x}^3+b{x}^2)$$f(x)=e^x(ax^3 +bx^2)$과 양의 실수 $t$$t$에 대하여 닫힌 구간 $[-t,t]$$[-t,~t]$에서 함수 $f(x)$$f(x)$의 최댓값을 $M(t)$$M(t)$, 최솟값을 $m(t)$$m(t)$라 할 때, 두 함수 $M(t),m(t)$$M(t),~m(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 양의 실수 $t$$t$에 대하여 $M(t)=f(t)$$M(t)=f(t)$이다.

(나) 양수 $k$$k$에 대하여 닫힌 구간 $[k,k+2]$$[k,~k+2]$에 있는 임의의 실수 $t$$t$에 대해서만 $m(t)=f(-t)$$m(t)=f(-t)$가 성립한다.

(다) $\begin{array}{r}{\int }_1^5\{e^t\times m(t)\}dt=\frac{7}{4}-8e\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^5 \big\{e^t\times m(t)\big\} dt=\cfrac 74-8e\end{aligned}$

$f(k+1)=\frac{q}{p}{e}^{k+1}$$f(k+1)=\cfrac qp e^{k+1}$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $a$$a$와 $b$$b$는 $0$$0$이 아닌 상수, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이고, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3}{e^x}=0$$\lim\limits_{ x\to \infty}\cfrac {x^3}{e^x}=0$이다.)

---

i. 정리

• $f(x)=a{x}^2(x+\frac{b}{a})e^x$$f(x)=ax^2 (x+\cfrac ba)e^x$
• $[-t,t]$$[-t,~t]$에서 $\{\begin{array}{l}M(t)=f(x)max\\ \\ m(t)=f(x)min\end{array}$$\begin{cases}M(t)=f(x)~\max\\ \\ m(t)=f(x)~\min \end{cases}$
• $M(t)=f(t)$$M(t)=f(t)$
• $k>0,[k,k+2]$$k>0,~[k,~k+2]$에 있는 실수 $t$$t$에 대해서만 $m(t)=f(-t)$$m(t)=f(-t)$
• $\begin{array}{r}{\int }_1^5\{e^t\times m(t)\}dt=\frac{7}{4}-8e\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^5 \big\{e^t\times m(t)\big\} dt=\cfrac 74-8e\end{aligned}$

ii. 생각

• $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 생각하자.

  우선 $M(t)=f(t)$$M(t)=f(t)$에서 $y=f(x)$$y=f(x)$는 $x>0$$x>0$ 일 때, 증가만 한다.

  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$\lim\limits_{ x\to -\infty} f(x)=0$

  이를 바탕으로 그래프 개형을 그리면,

  

  $a>0$$a>0$이고 $b>0$$b>0$이다.

• 대략적으로 극대, 극소, $f(x)=0$$f(x)=0$일 때의 교점등등 가능한 것들을 표현해놓자.

  

• 조건 (나)를 생각하자. $[k,k+2]$$[k,~k+2]$는 어디에 있을 때 조건을 만족시킬까?

  

  이 경우에는 $m(t)=f(x)$$m(t)=f(x)$의 극솟값으로 고정된다. 조건이랑 맞지 않는다.

   

  

  오! 뭔가 나올 거 같은 예감인데?

   

  

  오오! $m(t)=f(-t)$$m(t)=f(-t)$

   

  

  여기까지도 성립한다!

   

  

  여기부터는 $m(t)=0$$m(t)=0$

   

  이를 종합하면, $[-k-2,-k]$$[-k-2,~-k]$는 $[f(x)$$[f(x)$가 극소값을 가질 때의 $x$$x$값,$-\frac{b}{a}]$$-\cfrac ba]$ 이어야 함을 알 수 있다!!!

• 이제 $y=f(x)$$y=f(x)$에서 극소값을 가질 때의 $x$$x$값을 찾으면 된다.

  $f^{\prime }(x)=ax(x^2+(3+\frac{b}{a})x+2\frac{b}{a})e^x$$f'(x)=ax(x^2 +(3+\cfrac ba)x+2\cfrac ba)e^x$

  $\Leftarrow -k=-\frac{b}{a}⟶b=ak$$\Leftarrow \quad -k=-\cfrac ba\quad\longrightarrow \quad b=ak$

  $f^{\prime }(x)=ax(x^2+(3+k)x+2k)e^x$$f'(x)=ax(x^2 +(3+k)x+2k)e^x$

  $x^2+(3+k)x+2k=0$$x^2 +(3+k)x+2k=0$의 작은 근을 $\alpha$$\alpha$라 하면, $\alpha =-k-2$$\alpha =-k-2$이면 된다.

  인수분해가...헐....제길...

  $\alpha =\frac{-(3+k)-\sqrt{(3+k{)}^2-8k}}{2}=-k-2$$\alpha =\cfrac {-(3+k)-\sqrt{(3+k)^2-8k}}{2}=-k-2$

  아오....풀자...

  계.산.생.략.

  $k=2$$k=2$이고 $\alpha =-4$$\alpha=-4$

  $\therefore b=2a$$\therefore~ b=2a$이고 $f^{\prime }(x)=a{x}^2(x+2)e^x$$f'(x)=ax^2(x+2)e^x$

• 이제 마지막 조건을 쓸 차례인가보다.

  • $[2,4]$$[2,~4]$에서 $m(t)=f(-t)$$m(t)=f(-t)$
  • $0<t<2$$0<t<2$일 때, $m(t)=0$$m(t)=0$
  • $4<t$$4<t$이면 $m(t)=f(-4)$$m(t)=f(-4)$

  이 구간들을 생각하면서 적분을 하면 되곘구나.

  $\begin{array}{rl}{\int }_1^5\{e^t\times m(t)\}dt& ={\int }_1^2\{e^t\times m(t)\}dt+{\int }_2^4\{e^t\times m(t)\}dt+{\int }_4^5\{e^t\times m(t)\}dt\\ \\ & =0+{\int }_2^4{e}^t\times f(-t)dt+{\int }_4^5{e}^{t}f(-4)dt\\ \\ & ={\int }_2^{4}a{x}^2(-x+2)dx+f(-4)(e^5-e^4)\end{array}$$\begin{aligned}\int_1^5 \big\{e^t\times m(t)\big\}dt &=\int_1^2 \big\{e^t\times m(t)\big\}dt +\int_2^4\big\{e^t\times m(t)\big\}dt +\int_4^5 \big\{e^t\times m(t)\big\}dt \\ \\ &= 0+\int_2^4 e^t\times f(-t)dt +\int_4^5 e^tf(-4)dt \\ \\ &=\int_2^4 ax^2 (-x+2)dx+f(-4)(e^5-e^4)\end{aligned}$

  오.. 조건 (나)에서 $-8e$$-8e$가 나올 부분은 오직 $f(-4)(e^5-e^4)$$f(-4)(e^5-e^4)$에서만 나온다!!!! (뭐 $a$$a$가 무리수일 수도 있지만, 무리수면 무리다. 으응? $a\times$$a\times$유리수+$a($$a($무리수-유리수$)$$)$ 결국 적분값에서 유리수와 무리수가 동시에 나올 수 없는 구조다...)

  이 부분만 계산하면 $-32a=-8$$-32a=-8$을 만족해야한다. (당연히, 계산생략)

  $\therefore a=\frac{1}{4}$$\therefore~ a=\cfrac 14$

• $k=2$$k=2$ 이고 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2(x+2)e^x$$f(x)=\cfrac 14 x^2 (x+2)e^x$

  $f(3)=\frac{9}{4}\cdot 5e^3=\frac{45}{4}{e}^3$$f(3)=\cfrac 94 \cdot 5 e^3=\cfrac {45}4e^3$

$\therefore p+q=49$$\therefore~ p+q=49$