2020년 07월 가형 21번

21. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\frac{4x^2}{x^2+3}$$f(x)=\cfrac{4x^2}{x^2 +3}$에 대하여 $f(x)$$f(x)$의 역함수를 $g(x)$$g(x)$라 할 때, 함수 $h(x)$$h(x)$를

$$h(x)=f(x)-g(x)(0<x<4)$$

라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $h(1)=0$$h(1)=0$

ㄴ. 두 양수 $a,b(a<b<4)$$a,~b~(a<b<4)$에 대하여 $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}h(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^b h(x)dx \end{aligned}$의 값이 최대일 때, $b-a=2$$b-a=2$이다.

ㄷ. $h(x)$$h(x)$의 도함수 $h^{\prime }(x)$$h'(x)$의 최댓값은 $\frac{7}{6}$$\cfrac 76$이다.

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i. 정리

• $f(x)$$f(x)$는 $x>0$$x>0$에서 딱 봐도 증가하고 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=4$$\lim\limits_{ x\to \infty} f(x)=4$

• $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$의 교점을 구해놓자.

  $\frac{4x^2}{x^2+3}=x$$\cfrac{ 4x^2}{x^2 +3}=x$

  $x=0$$x=0$인 건 이미 알고 있으니

  $\frac{4x}{x^2+3}=1$$\cfrac {4x}{x^2 +3}=1$

  $x=1,3$$x=1,~3$에서 교점

ii. ㄱ

• $f(1)=1⟶g(1)=1$$f(1)=1\quad \longrightarrow \quad g(1)=1$

$\therefore h(1)=0$$\therefore~ h(1)=0$

True

iii. ㄴ

• $y=f(x)$$y=f(x)$는 $y=x$$y=x$와 $x=1,3$$x=1,~3$에서 교점이 발생한다. 이를 그래프로 대충 그리면,

  

  어랏?

  $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}h(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^bh(x)dx \end{aligned}$가 최대가 되기 위해서는 $f(x)>g(x)$$f(x)>g(x)$인 구간을 적분할 때이다.

  어랏? 그래프에서 보니 $b=3,a=1$$b=3,~a=1$일 때이다.

  $\therefore b-a=2$$\therefore~ b-a=2$

  True

iv. ㄷ

• $h^{\prime }(x)$$h'(x)$의 최댓값을 구하기 위해서는 $h^{″}(x)$$h''(x)$를........아......

  $h^{″}(x)=0$$h''(x)=0$인 값을 찾도록 하자.

• $f^{\prime }(x),f^{″}(x)$$f'(x),~f''(x)$를 계산하자.

  계산 생략

  $f^{\prime }(x)=\frac{24x}{(x^2+3{)}^2}$$f'(x)=\cfrac {24x}{(x^2 +3)^2}$

  $f^{″}(x)=-\frac{24(x^2-1)}{(x^2+3{)}^2}$$f''(x)=-\cfrac {24(x^2 -1)}{(x^2+3)^2}$

• $g^{\prime }(x),g^{″}(x)$$g'(x),~g''(x)$를 계산해보자.

  $g(f(x))=x$$g(f(x))=x$에서 $g^{\prime }(f(x))=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$g'(f(x))=\cfrac 1{f'(x)}$

  $g^{″}(f(x))=-\frac{f^{″}(x)}{f^{\prime }(x{)}^2\cdot f^{\prime }(x)}$$g''(f(x))=-\cfrac {f''(x)}{f'(x)^2\cdot f'(x)}$

어랏...무슨... ㄱ에서 $x=1$$x=1$을 이용했으니 대입해볼까?

• $f^{″}(1)=0,g^{″}(1)=0⟶h^{″}(1)=0$$f''(1)=0,~g''(1)=0\quad \longrightarrow \quad h''(1)=0$
• $h^{″}(1)=\frac{5}{6}$$h''(1)=\cfrac 56$

False