2020학년도 11월 가형 21번

21. 실수 $t$$t$에 대하여 곡선 $y=e^x$$y=e^x$ 위의 점 $(t,e^t)$$(t,~e^t)$에서의 접선의 방정식을 $f(x)$$f(x)$라 할 때, 함수 $y=|f(x)+k-\ln x|$$y=|f(x)+k-\ln x|$가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$$k$의 최솟값을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 두 실수 $a,b(a<b)$$a,~b~(a<b)$에 대하여 $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}g(t)dt=m\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^b g(t)dt =m\end{aligned}$이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $m<0$$m<0$이 되도록 하는 두 실수 $a,b(a<b)$$a,~b~(a<b)$가 존재한다.

ㄴ. 실수 $c$$c$에 대하여 $g(c)=0$$g(c)=0$이면, $g(-c)=0$$g(-c)=0$이다.

ㄷ. $a=\alpha ,b=\beta (\alpha <\beta )$$a=\alpha ,~b=\beta ~(\alpha <\beta)$일 때 $m$$m$의 값이 최소이면 $\frac{1+g^{\prime }(\beta )}{1+g^{\prime }(\alpha )}<-e^2$$\cfrac {1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha )}<-e^2$이다.

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$를 구하자.

  $f(x)=e^t(x-t)+e^t$$f(x)=e^t(x-t)+e^t$

• $h(x)=f(x)-\ln x+k$$h(x)=f(x)-\ln x +k$라 하면,

  $h(\alpha )=0$$h(\alpha )=0$일 때, $h^{\prime }(\alpha )=0$$h'(\alpha)=0$이면 된다.

• $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{x}$$h'(x)=f'(x)-\cfrac 1x$

  $f^{\prime }(\alpha )=\frac{1}{\alpha }$$f'(\alpha )=\cfrac 1{\alpha }$

  정리하면, $e^t=\frac{1}{\alpha }$$e^{t} =\cfrac 1{\alpha }$이고

  $e^t(\alpha -t)+e^t-\ln \alpha +k=0$$e^t (\alpha -t)+e^t-\ln \alpha +k=0$

  $k=\ln \alpha +e^t(t-\alpha )-e^t$$k=\ln \alpha +e^t(t-\alpha )-e^t$

  $k=-t+e^t(t-e^{-t})-e^t$$k=-t+e^t(t-e^{-t} )-e^t$

  $k=-t+t{e}^t-1-e^t=e^t(t-1)-(t+1)$$k=-t+te^t-1-e^t=e^t(t-1)-(t+1)$

  $\therefore g(t)=e^t(t-1)-(t+1)$$\therefore~ g(t)=e^t(t-1)-(t+1)$

ii. ㄱ

• $g(t)$$g(t)$의 개형을 알아보자.

  $g^{\prime }(t)=t{e}^t-1$$g'(t)=te^t -1$

  빠르게 그려보면

  

  감소하다 증가한다! 그리고 $g(1)=-2$$g(1)=-2$

  $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}g(t)dt<0\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^b g(t)dt<0 \end{aligned}$인 $a,b$$a,~b$가 존재한다.

  True

iii. ㄴ

• $g(c)=0$$g(c)=0$을 이용하자.

  $e^c(c-1)=(c+1)$$e^c(c-1)=(c+1)$

  $e^c=\frac{c+1}{c-1}$$e^c =\cfrac {c+1}{c-1}$

• $g(-c)$$g(-c)$를 게산하자.

  $e^{-c}(-c-1)=-c+1$$e^{-c}(-c-1)=-c+1$

  $e^{-c}=\frac{c-1}{c+1}⟶e^c=\frac{c+1}{c-1}$$e^{-c}=\cfrac {c-1}{c+1}\quad \longrightarrow \quad e^c =\cfrac {c+1}{c-1}$

  $\therefore g(-c)=0$$\therefore~ g(-c)=0$

True

iv. ㄷ

• ㄴ에 따라서 $\alpha =-c,\beta =c$$\alpha =-c,~\beta =c$이다.

• 대입하자.

  $\frac{1+c{e}^c-1}{1-c{e}^{-c}-1}=-e^{2c}$$\cfrac {1+ce^c -1}{1-ce^{-c}-1}= -e^{2c}$

• 부등식을 가지고 장난치자

  $-e^{2c}<-e^{-2}$$-e^{2c} <-e^{-2}$

  $e^{2c}>e^{-2}$$e^{2c}>e^{-2}$

  $2c>-2$$2c>-2$

  $c>-1$$c>-1$이면 된다.

  그런데, $g(-1)<0$$g(-1)<0$이고 $g(c)=0$$g(c)=0$

  $c>-1$$c>-1$이다.

True