2020학년도 09월 가형 30번

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여

$$f^{\prime }(x^2+x+1)=\pi f(1)\sin \pi x+f(3)x+5x^2$$

을 만족시킬 때, $f(7)$$f(7)$의 값을 구하시오.

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아...문제가 짧은 걸 보니. 어렵거나....더럽거나...

i. 생각

• 적분을 해야할 거 같은데...

  양변에 $(2x+1)$$(2x+1)$을 곱하면, 치환적분이 가능하곘다.

  $\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x^2+x+1)(2x+1)& =\{\pi f(1)\sin \pi x+f(3)x+5x^2\}(2x+1)\\ \\ & =10x^3+(5+2f(3))x^2+f(3)x+\pi f(1)(2x+1)\sin \pi x\end{array}$$\begin{aligned} f'(x^2 +x+1)(2x+1)&=\big\{\pi f(1)\sin \pi x +f(3)x +5x^2\big\}(2x+1) \\ \\ &= 10x^3 +(5+2f(3))x^2 +f(3)x +\pi f(1)(2x+1)\sin \pi x \end{aligned}$

• 적분하자.

  적분상수는 귀찮으니 마지막에 쓰도록 하자.

  $\begin{array}{rl}f(x^2+x+1)& =\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5+2f(3)}{3}{x}^3+\frac{f(3)}{2}{x}^2\\ \\ & -f(1)(2x+1)\cos \pi x+f(1)\frac{2}{\pi }\sin \pi x+C\end{array}$$\begin{aligned} f(x^2 +x+1 )&= \cfrac 52 x^4 +\cfrac {5+2f(3)}3x^3 +\cfrac {f(3)}2 x^2 \\ \\ &\quad -f(1)(2x+1)\cos\pi x +f(1)\cfrac 2 {\pi} \sin \pi x +C \end{aligned}$

  중간에 부분적분은 계산 생략.

• $f(1),f(3),C$$f(1),~f(3),~C$를 구하자.

  식을 보니 각각 $x=0,-1,1$$x=0,~-1,~1$을 넣으면 될 거 같다.

  • $x=0$$x=0$

    $2f(1)=C$$2f(1)=C$

  • $x=-1$$x=-1$

    $f(3)=5$$f(3)=5$

  • $x=1$$x=1$

    $f(1)=-1$$f(1)=-1$

  $\therefore C=-2$$\therefore~ C=-2$

$\therefore f(x^2+x+1)=\frac{5}{2}{x}^4+5x^3+\frac{5}{2}{x}^2+(2x+1)\cos \pi x-\frac{2}{\pi }\sin \pi x-2$$\therefore~ f(x^2 +x+1 )=\cfrac 52x^4 +5x^3+\cfrac 52 x^2 +(2x+1)\cos \pi x -\cfrac 2{\pi} \sin \pi x -2$

$x=2$$x=2$를 대입하면,

$\therefore f(7)=5\cdot 2^3+5\cdot 2^3+5\cdot 2+5-0-2=93$$\therefore~ f(7)=5\cdot 2^3 +5\cdot 2^3 +5\cdot 2 +5-0-2=93$