2019년 07월 가형 21번

21. $0<t<1$$0<t<1$인 실수 $t$$t$에 대하여 직선 $y=t$$y=t$와 함수 $f(x)=\sin x(0<x<\frac{\pi }{2})$$f(x)=\sin x ~\Big(0<x<\cfrac {\pi}2\Big)$의 그래프가 만나는 점을 $P$$P$라 할 때, 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $P$$P$에서 그은 접선의 $x$$x$ 절편을 $g(t)$$g(t)$라 하자. $g^{\prime }(\frac{2\sqrt{2}}{3})$$g'\Big(\cfrac {2\sqrt 2}3\Big)$을 구하시오.

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i. 생각

• 당연히 그래프부터 그리고 보자.

  

  $\sin \alpha =t$$\sin \alpha =t$라 하자.

  $f^{\prime }(x)=\cos x$$f'(x)=\cos x$

• 접선을 구하고 $g(t)$$g(t)$를 표현하자.

  $y=f^{\prime }(\alpha )(x-\alpha )+\sin \alpha$$y=f'(\alpha )(x-\alpha )+\sin \alpha$

  $x$$x$ 절편은 $\alpha -\tan \alpha$$\alpha -\tan \alpha$

  $\therefore g(t)=\alpha -\tan \alpha$$\therefore~ g(t)=\alpha -\tan \alpha$

  $\sin \alpha =t$$\sin\alpha =t$를 미분하면,

  $\cos \alpha d\alpha =dt$$\cos \alpha d\alpha =dt$를 이용해야겠다.

  $g^{\prime }(t)dt=(1-{\sec }^2\alpha )d\alpha$$g'(t)dt =(1-\sec ^2 \alpha )d\alpha$

  $g^{\prime }(t)=(1-{\sec }^2\alpha )\frac{d\alpha }{dt}=(1-{\sec }^2\alpha )\frac{1}{\cos \alpha }$$g'(t)=(1-\sec^2 \alpha )\cfrac {d\alpha }{dt}=(1-\sec^2 \alpha )\cfrac 1{\cos \alpha }$

• 계산하자.

  $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$\sin\alpha =\cfrac {2\sqrt 2}3$이면, $\cos \alpha =\frac{1}{3}$$\cos \alpha =\cfrac 13$

  대입하자.

  $g^{\prime }(\frac{2\sqrt{2}}{3})=(1-9)3=-24$$g'(\cfrac {2\sqrt 2}3) =(1-9)3=-24$

$\therefore -24$$\therefore~ -24$