2019년 07월 가형 30번

30. $x=a(a>0)$$x=a~(a>0)$에서 극댓값을 갖는 사차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$가

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \pi x}{f(x)}& (f(x)\ne 0)\\ \\ \frac{7}{128}{\pi }^2& (f(x)=0)\end{array}\end{array}$$

일 때, 함수 $g(x)$$g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g^{\prime }(0)\times g^{\prime }(2a)\ne 0$$g'(0)\times g'(2a)\neq 0$

(나) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=a$$x=a$에서 극값을 갖는다.

$g(1)=\frac{2}{7}$$g(1)=\cfrac 27$일 때, $g(-1)=\frac{q}{p}$$g(-1)=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$는 $f(x)=0$$f(x)=0$일 때, 연속이다!

  $f(x)=0$$f(x)=0$이 되는 $x$$x$의 값을 $k$$k$라 하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to k}{lim}\frac{1-\cos \pi x}{f(x)}& =\frac{7}{128}{\pi }^2\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ x\to k} \cfrac {1-\cos\pi x}{f(x)} &=\cfrac 7{128}\pi^2 \end{aligned}$이어야 한다.

  그런데, $f(k)=0$$f(k)=0$이니까, $1-\cos \pi k=0$$1-\cos\pi k=0$이어야 한다.

  $\therefore k=2n$$\therefore~ k=2n~$(단, $n$$n$은 정수)

  $\therefore f(2n)=0$$\therefore~ f(2n)=0$

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to 2n}{lim}\frac{1-\cos \pi x}{f(x)}& =\underset{x\to 2n}{lim}\frac{\pi \sin \pi x}{f^{\prime }(x)}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{ x\to 2n} \cfrac {1-\cos \pi x}{f(x)} &= \lim\limits_{ x\to 2n} \cfrac {\pi \sin \pi x} {f'(x)} \end{aligned}$

  분모가 $0$$0$으로 간다...따라서 $f^{\prime }(2n)=0$$f'(2n)=0$이어야 한다.

  한 번 더...로피탈의 정리를 쓰자. (뭐 교과 아니래도 어때. 이미 다 쓰잖아?)

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to 2n}{lim}\frac{\pi \sin \pi x}{f^{\prime }(x)}& =\underset{x\to 2n}{lim}\frac{{\pi }^2\cos \pi x}{f^{″}(x)}\\ \\ & =\frac{{\pi }^2}{f^{″}(2n)}\\ \\ & =\frac{7}{128}{\pi }^2\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ x\to 2n} \cfrac {\pi\sin\pi x }{f'(x)} &= \lim\limits_{ x\to 2n}\cfrac {\pi^2\cos \pi x }{f''(x)} \\ \\ &= \cfrac {\pi^2}{f''(2n)} \\ \\ &=\cfrac 7{128}\pi^2\end{aligned}$

  $\therefore f(2n)=f^{\prime }(2n)=0,f^{″}(2n)=\frac{128}{7}$$\therefore~ f(2n)=f'(2n)=0,~f''(2n)=\cfrac {128}7$

이를 정리하면, $f(x)=0$$f(x)=0$을 만족시키는 $x$$x$는 모두 중근이다!

• $g^{\prime }(x)$$g'(x)$를 구하자.

  $g^{\prime }(x)=\frac{\pi \sin \pi x\times f(x)-(1-\cos \pi x)f^{\prime }(x)}{\{f(x){\}}^2}$$g'(x)=\cfrac {\pi \sin \pi x\times f(x)-(1-\cos \pi x )f'(x)}{\{f(x)\}^2}$

• $g^{\prime }(0)\ne 0$$g'(0)\neq 0$을 이용하자.

  어..분모가 $0$$0$이다. 그럼 극한값으로 가야하므로 $f(0)=0$$f(0)=0$이다.

  어? 위에서 봤다시피 $f(x)=x^{2}h(x)$$f(x)=x^2 h(x)$라고 표현할 수 있다. (단, $h(x)$$h(x)$는 이차다항식)

• $g^{\prime }(2a)\ne 0$$g'(2a)\neq 0$을 이용하자.

  어? 똑같네?

  그럼 $f(x)=k{x}^2(x-2a{)}^2$$f(x)=kx^2 (x-2a)^2$이라 표현할 수 있다. (단, $k$$k$는 실수)

  $a$$a$는 자연수다!

• $g^{\prime }(a)=0$$g'(a)=0$을 생각하자.

  $f^{\prime }(a)=0$$f'(a)=0$이고, 아....$f(a)=0$$f(a)=0$일 때와 아닐 때로 생각해야 한다...

  • $f(a)=0$$f(a)=0$일 때,

    당연히 존재할 수 없다. 이미 $f(x)=k{x}^2(x-2a{)}^2$$f(x)=kx^2 (x-2a)^2$를 만족시켜야한다.

  • $f(a)\ne 0$$f(a)\neq0$일 때,

    $a$$a$는 자연수.

• $g(1)=\frac{2}{7}$$g(1)=\cfrac 27$을 이용하면,

  $f(1)=7$$f(1)=7$

ii. 계산하자.

$f(1)=7,f^{″}(\alpha )=\frac{128}{7},\alpha =0,2a$$f(1)=7,~f''(\alpha )=\cfrac {128}7,~\alpha =0,~2a$

$f(x)=k{x}^2(x-2a{)}^2$$f(x)=kx^2 (x-2a)^2$에서

• $f(1)=7$$f(1)=7$

  $k(1-2a{)}^2=7$$k(1-2a)^2=7$

• $f^{″}(0)=\frac{128}{7}$$f''(0)=\cfrac {128}7$

  $k{a}^2=\frac{16}{7}$$ka^2 =\cfrac {16}7$

$\therefore k=\frac{1}{7},a=4$$\therefore~ k=\cfrac 17,~a=4$

$\therefore f(x)=\frac{1}{7}{x}^2(x-8{)}^2$$\therefore~ f(x)=\cfrac 17 x^2 (x-8)^2$

$\therefore g(-1)=\frac{2}{f(-1)}=\frac{2}{\frac{81}{7}}=\frac{14}{81}$$\therefore~ g(-1)=\cfrac 2{f(-1)} =\cfrac 2{\cfrac {81}7 }=\cfrac {14}{81}$

$\therefore p+q=95$$\therefore~ p+q=95$