2019년 10월 가형 21번

21. 자연수 $n$$n$에 대하여 점 $(a,0)$$(a,~0)$에서 곡선 $y=(x-n)e^x$$y=(x-n)e^x$에 그은 접선의 개수를 $f(n)$$f(n)$이라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $a=0$$a=0$일 때, $f(4)=1$$f(4)=1$이다.

ㄴ. $f(n)=1$$f(n)=1$인 정수 $n$$n$의 개수가 $1$$1$인 정수 $a$$a$가 존재한다.

ㄷ. $\sum _{n=1}^{5}f(n)=5$$\sum\limits_{ n=1}^5 f(n)=5$를 만족시키는 정수 $a$$a$의 값은 $-1$$-1$ 또는 $-3$$-3$이다.

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i. 생각

• 그래프 그리고 생각하자.

  

  $y^{\prime }=(x-n+1)e^x$$y'=(x-n+1)e^x$

  $(k,(k-n)e^k)$$(k,~(k-n)e^k)$에서의 접선이 $(a,0)$$(a,~0)$을 지나도록 하자.

  $y=(k-n+1)e^k(x-k)+(k-n)e^k$$y=(k-n+1)e^k (x-k)+(k-n)e^k$가 $(a,0)$$(a,~0)$을 지나므로, 식을 정리하면,

  $y=\{(k-n+1)(a-k)+(k-n)\}{e}^k=0$$y=\big\{(k-n+1)(a-k)+(k-n)\big\}e^k=0$

  $ak-an+a-k^2+kn-k+k-n=0$$ak-an+a-k^2 +kn-k+k-n=0$

  $-k^2+(n+a)k-an+a-n=0$$-k^2 +(n+a)k-an+a-n=0$

  $k^2-(n+a)k+a(n-1)+n=0$$k^2 -(n+a)k+a(n-1)+n=0$

• ㄱ

  $a=0,n=4$$a=0,~n=4$이면

  $k^2-4k+4=0$$k^2 -4k+4=0$

  $(k-2{)}^2=0$$(k-2)^2=0$

  $\therefore f(4)=1$$\therefore~ f(4)=1$

  True

• ㄴ

  $k^2-(n+a)k+a(n-1)+n=0$$k^2 -(n+a)k+a(n-1)+n=0$

  의 근의 개수가 중요하다.

  $D=(n+a{)}^2-4(an-a+n)=(n-a)(n-(a+4))$$D=(n+a)^2 -4\big(an-a+n\big)=(n-a)(n-(a+4))$

  중근이 되야 $f(n)=1$$f(n)=1$인데,

  $n=a,,a+4$$n=a,~, a+4$로 두개가 나온다.

  False

• ㄷ

  ㄴ에서 계산한 것을 보면,

  $f(n)=\{\begin{array}{ll}2& (n<a)\\ \\ 1& (n=a)\\ \\ 0& (a<n<a+4)\\ \\ 1& (n=a+4)\\ \\ 2& (a+4<n)\end{array}$$f(n)=\begin{cases} 2 &(n<a)\\ \\ 1&(n=a) \\ \\ 0 &(a<n<a+4) \\ \\ 1 &(n=a+4)\\ \\ 2&(a+4<n)\end{cases}$

  $\sum _{n=1}^{5}f(n)=5$$\sum\limits_{ n=1}^5 f(n)=5$가 되는 경우는

  순서대로 $2,2,1,0,0$$2,~2,~1,~0,~0$이 되는 경우

  $1=a-2$$1=a-2$에서 $a=3$$a=3$일 때

  또는 $0,0,1,2,2$$0,~0,~1,~2,~2$가 되는 경우

  $a+2=1$$a+2=1$에서 $a=-1$$a=-1$

  True