2020학년도 06월 가형 30번

30. 상수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)=a{\sin }^{3}x+b\sin x$$f(x)=a\sin ^3 x +b\sin x$가

$$f(\frac{\pi }{4})=3\sqrt{2},f(\frac{\pi }{3})=5\sqrt{3}$$

을 만족시킨다. 실수 $t(1<t<14)$$t~(1<t<14)$에 대하여 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$$y=t$가 만나는 점의 $x$$x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$$n$번째 수를 $x_n$$x_n$이라 하고,

$$c_n={\int }_{3\sqrt{2}}^{5\sqrt{3}}\frac{t}{f^{\prime }(x_n)}dt$$

라 하자. $\sum _{n=1}^{101}{c}_n=p+q\sqrt{2}$$\sum\limits_{ n=1}^{101}c_n=p+q\sqrt 2$일 때, $q-p$$q-p$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 유리수이다.)

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아오..읽기만 해도 더럽다.

i. 생각

• 주어진 함숫값을 이용하면 $a,b$$a,~b$를 구할 수 있겠다?

  $\frac{\sqrt{2}}{4}a+\frac{2\sqrt{2}}{4}b=3\sqrt{2}$$\cfrac {\sqrt 2}4 a+\cfrac {2\sqrt 2}4b =3\sqrt 2$

  $\frac{3\sqrt{3}}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b=5\sqrt{3}$$\cfrac {3\sqrt 3}8a +\cfrac {\sqrt 3}2b=5\sqrt 3$

  정리하면,

  $\{\begin{array}{l}3a+4b=40\\ \\ a+2b=12\end{array}⟶a=16,b=-2$$\begin{cases} 3a+4b=40\\ \\ a+2b=12\end{cases} \quad\longrightarrow \quad a=16,~b=-2$

   

  $\therefore f(x)=16{\sin }^{3}x-2\sin x$$\therefore~ f(x)=16\sin^3 x -2\sin x$

• $c_n$$c_n$을 생각해보자.

  어...포기하자...어?

  $x_1,x_2$$x_1,~x_2$를 생각하면???

  $x=\frac{\pi }{2}$$x=\cfrac{\pi}2$에 대하여 대칭이고 적분구간은 서로 반대로

  $c_1+c_2=0$$c_1+c_2=0$일 것이고

  $c_3+c_4=0$$c_3+c_4=0$이고....

  $\sum _{n=1}^{101}{c}_n=c_{101}$$\sum\limits_{ n=1}^{101}c_n=c_{101}$일 것이고

  $c_{101}=c_1$$c_{101}=c_1$일 것이다.

  결국 $c_1$$c_1$구하라는 문제네....

• $c_1$$c_1$을 구하자!

  

  $y=t$$y=t$와 처음 만나는 좌표를 $(x_1,f(x_1)$$(x_1,~f(x_1)$이라 하자.

  그러면, $t=f(x_1)$$t=f(x_1)$이다.

  양변을 미분하면,

  $dt=f^{\prime }(x_1)d{x}_1$$dt=f'(x_1)dx_1$

  $\frac{dt}{f^{\prime }(x_1)}d{x}_1$$\cfrac {dt}{f'(x_1)} dx_1$

  오..치환적분인가?

  치환하자.

  적분구간은 $\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{3}$$\cfrac {\pi}4 \to \cfrac{\pi}3$

  $\begin{array}{rl}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}td{x}_1& ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}f(x_1)d{x}_1\\ \\ & ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}(16{\sin }^3{x}_1-2\sin x_1)d{x}_1\\ \\ & ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}(16\sin x_1(1-{\cos }^2{x}_1)-2\sin x_1)d{x}_1\\ \\ & ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}14\sin x_{1}d{x}_1-16{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\sin x_1{\cos }^2{x}_{1}d{x}_1\\ \\ & =-\frac{19}{3}+\frac{17}{3}\sqrt{2}\end{array}$$\begin{aligned} \int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3}tdx_1&=\int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3} f(x_1)dx_1 \\ \\ &=\int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3}\big(16\sin^3 x_1 -2\sin x_1\big)dx_1\\ \\ &= \int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3}\big(16\sin x_1 (1-\cos ^2 x_1 )-2\sin x_1\big)dx_1\\ \\ &=\int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3}14\sin x_1 dx_1 -16\int_{\frac {\pi}4}^{\frac {\pi}3}\sin x_1 \cos ^2 x_1dx_1\\ \\ &=-\cfrac {19}3+\cfrac {17}3\sqrt 2 \end{aligned}$

$\therefore \frac{17}{3}+\frac{19}{3}=12$$\therefore~ \cfrac {17}3+\cfrac {19}3=12$