2020학년도 06월 가형 21번

21. 함수 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$$f(x)=\cfrac{\ln x}x$와 양의 실수 $t$$t$에대하여 기울기가 $t$$t$인 직선이 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$에 접할 때 접점의 $x$$x$좌표를 $g(t)$$g(t)$라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$에 그은 접선의 기울기가 $a$$a$일 때, 미분가능한 함수 $g(t)$$g(t)$에 대하여 $a\times g^{\prime }(a)$$a\times g'(a)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $g(t)$$g(t)$는 복잡하니 우선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $(\alpha ,f(\alpha ))$$(\alpha,~f(\alpha))$) 위에서의 접선을 구하고 표현을 해보자.

  $y=f^{\prime }(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )$$y=f'(\alpha )(x-\alpha)+f(\alpha )$

  이제 문제에서 주어진 조건을 이용하여 표현해보자.

  $\alpha =g(t)$$\alpha =g(t)$

  $f^{\prime }(\alpha )=f^{\prime }(g(t))=t$$f'(\alpha )=f'(g(t))=t$

• 원점에서 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$에 그은 접선의 기울기를 구하자. (이때의 접점을 $(b,~f(b))라 하자.

  $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$$f'(x)=\cfrac {1-\ln x}{x^2 }$

  $y=f^{\prime }(b)(x-b)+f(b)$$y=f'(b)(x-b)+f(b)$가 $(0,0)$$(0,0)$을 지나면 되니까

  $f(b)=b{f}^{\prime }(b)$$f(b)=bf'(b)$

  $\frac{\ln b}{b}=b\times \frac{1-\ln b}{b^2}$$\cfrac {\ln b}b =b\times \cfrac {1-\ln b}{b^2}$

  $\ln b=1-\ln b$$\ln b=1-\ln b$

  $b=e^{\frac{1}{2}}$$b=e^{\frac 12}$

  $f^{\prime }(b)=\frac{1-\frac{1}{2}}{e}=\frac{1}{2e}=a$$f'(b)=\cfrac {1-\cfrac 12 }{e}=\cfrac 1{2e}=a$

  $g(a)=e^{\frac{1}{2}}$$g(a)=e^{\frac 12}$

• $g^{\prime }(a)$$g'(a)$를 구하자.

  $f^{\prime }(g(t))=t$$f'(g(t))=t$를 미분하면 튀어나올 거 같다.

  $f^{″}(g(t))g^{\prime }(t)=1$$f''(g(t))g'(t)=1$

  $\therefore g^{\prime }(t)=\frac{1}{f^{″}(g(t))}$$\therefore~ g'(t)=\cfrac 1{f''(g(t))}$

  $f^{″}(g(a))=f^{″}(e^{\frac{1}{2}})$$f''(g(a))=f''(e^{\frac 12})$를 구하면 되겠다.

  $f^{″}(x)=\frac{-3x+2x\ln x}{x^4}$$f''(x)=\cfrac {-3x+2x\ln x}{x^4}$

  $f^{″}(e^{\frac{1}{2}})=\frac{-2e^{\frac{1}{2}}}{e^2}$$f''(e^{\frac 12})=\cfrac {-2e^{\frac 12}}{e^2}$

  $\therefore g^{\prime }(a)=-\frac{e^2}{2e^{\frac{1}{2}}}$$\therefore~ g'(a)=-\cfrac{e^2}{2e^{\frac 12}}$

$\therefore a\times g^{\prime }(a)=\frac{1}{2e}\times -\frac{e^2}{2e^{\frac{1}{2}}}=-\frac{e^{\frac{1}{2}}}{4}$$\therefore~ a\times g'(a)=\cfrac 1{2e} \times-\cfrac{e^2}{2e^{\frac 12}}=-\cfrac {e^{\frac 12}}4$