2019년 04월 가형 30번

30. 삼차함수 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx(a,b$$f(x)=x^3 +ax^2 +bx~(a,~b$는 정수$)$$)$에 대하여 함수 $g(x)=e^{f(x)}-f(x)$$g(x)=e^{f(x)}-f(x)$는 $x=\alpha ,x=-1,x=\beta (\alpha <-1<\beta )$$x=\alpha,~x=-1,~x=\beta~(\alpha <-1<\beta)$에서만 극값을 갖는다.

함수 $y=|g(x)-g(\alpha )|$$y=|g(x)-g(\alpha)|$가 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$$2$일 때, $\{f(-1){\}}^2$$\big\{f(-1)\big\}^2$의 최댓값을 구하시오.

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i. 생각

• $g^{\prime }(x)$$g'(x)$를 구하자.

  $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)(e^{f(x)}-1)$$g'(x)=f'(x)(e^{f(x)}-1)$

  $g(x)$$g(x)$는 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$ 과 $f(x)=0$$f(x)=0$을 비교하면서 접근해야 한다.

  우선, $f(0)=0$$f(0)=0$이므로 어?

  $\beta =0$$\beta=0$이다.

   

  $f(x)=x(x^2+ax+b)$$f(x)=x(x^2 +ax+b)$에서 $x^2+ax+b=0$$x^2 +ax+b=0$의 근과 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근과 비교를 해야겠다.

• $f^{\prime }(x)=f(x)=0$$f'(x)=f(x)=0$의 근을 살펴보도록 하자.

  $3x^2+2ax+b=x^2+ax+b=0$$3x^2 +2ax+b=x^2 +ax+b=0$이 공통근을 가질 수 있을까?

  • $x=-1$$x=-1$이 공통근일 때,

    $3-2a+b=1-a+b=0$$3-2a+b=1-a+b=0$

    불가능하다.

  • $x=\alpha$$x=\alpha$일 때,

    $3-2a+b=0⟶b=2a-3$$3-2a+b=0\quad\longrightarrow \quad b=2a-3$

    • $2{\alpha }^2+a\alpha =0(3x^2+2ax+b=x^2+ax+b$$2\alpha ^2 +a\alpha =0\quad (3x^2 +2ax+b=x^2 +ax+b$를 이용)

      $\alpha (2\alpha +a)=0$$\alpha (2\alpha +a)=0$

      $\alpha \ne 0$$\alpha \neq 0$이므로 $\alpha =-\frac{a}{2}$$\alpha =-\cfrac a{2}$

    • $3{\alpha }^2+2a\alpha +b=0$$3\alpha ^2 +2a\alpha +b=0$

      $\alpha =-\frac{a}{2}$$\alpha =-\cfrac a2$를 대입하면,

      $\frac{3}{4}{a}^2-a^2+b=0$$\cfrac 34 a^2 -a^2 +b=0$

      $b=\frac{1}{4}{a}^2$$b=\cfrac 14 a^2$

      $\frac{1}{4}{a}^2=2a-3$$\cfrac 14a^2 =2a-3$

      $a^2-8a+12=0$$a^2 -8a+12=0$

      $a=2,6$$a=2,~6$

      $\alpha$$\alpha$의 조건을 생각하면 $a=6$$a=6$이고 $\alpha =-3,b=-9$$\alpha =-3,~b=-9$

       

      그런데, $x^2+ax+b=0$$x^2 +ax+b=0$에서

      $x^2+6x-9=0$$x^2 +6x -9=0$을 만족하지 못한다.

  $\therefore$$\therefore~$공통근은 존재하지 않는다.

  $\therefore x^2+ax+b=0$$\therefore~ x^2 +ax+b=0$은 허근을 가져야 한다.

  $a^2-4b<0b=2a-3$$a^2-4b<0\quad b=2a-3$

  $a^2-8a+12<0$$a^2 -8a+12<0$

  $2<a<6$$2<a<6$

• $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근은 $-1,\alpha$$-1,~\alpha$이다.

  $f(x)=3x^2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3)$$f(x)=3x^2 +2ax +2a-3=(x+1)(3x+2a-3)$

  $\therefore \alpha =-\frac{2a-3}{3}=1-\frac{2}{3}a$$\therefore~ \alpha =-\cfrac {2a-3}3=1-\cfrac 23a$

  그리고, $1-\frac{2}{3}a<-1$$1-\cfrac 23a <-1$이어야 한다.

  $3<a$$3<a$

$\therefore a=4,5$$\therefore~ a=4,~5$가 가능하다.

ii. 생각2

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 생각하자.

  $\alpha ,-1,0$$\alpha,~-1,~0$은 각각 극소, 극대, 극소이다.

  $g(\alpha )>g(0)$$g(\alpha )>g(0)$이어야 미분가능하지 않은 점이 $2$$2$점이 나온다.

  $g(0)=1$$g(0)=1$

• $a=4$$a=4$일 때,

  $\alpha =-\frac{5}{3}$$\alpha =-\cfrac 53$

  $f(-\frac{5}{3})=-\frac{50}{27}$$f(-\cfrac 53)=-\cfrac {50}{27}$

  $\therefore$$\therefore~$ 조건 만족

• $a=5$$a=5$일 때,

  $\alpha =-\frac{7}{3}$$\alpha =-\cfrac 73$

  $f(-\frac{7}{3})<-1$$f(-\cfrac 73)<-1$

  $\therefore$$\therefore~$조건 만족

이거...딱히 할 필요 없었네....

iii. 생각3

• $\{f(-1){\}}^2$$\{f(-1)\}^2$을 구하자.

  • $a=4$$a=4$일 때,

    $\{f(-1){\}}^2=4$$\{f(-1)\}^2=4$

  • $a=5$$a=5$일 때,

    $\{f(-1){\}}^2=9$$\{f(-1)\}^2=9$

$\therefore 9$$\therefore~ 9$