2019년 04월 가형 21번

21. 자연수 $n$$n$에 대하여 열린 구간 $(3n-3,3n)$$(3n-3,~3n)$에서 함수

$$f(x)=(2x-3n)\sin 2x-(2x^2-6nx+4n^2-1)\cos 2x$$

가 $x=\alpha$$x=\alpha$에서 극대 또는 극소가 되는 모든 $\alpha$$\alpha$의 값의 합을 $a_n$$a_n$이라 하자.

$\cos a_m=0$$\cos a_m=0$이 되도록 하는 자연수 $m$$m$의 최솟값을 $l$$l$이라 할 때, $\sum _{k=1}^{l+2}{a}_k$$\sum\limits_{ k=1}^{l+2}a_k$의 값을 구하시오.

---

i. 생각

• $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 구하자.

  $f^{\prime }(x)=4(x-2n)(x-n)\sin 2x$$f'(x)=4(x-2n)(x-n)\sin 2x$

  $x=n,2n,\frac{k}{2}\pi$$x=n,~2n,~\cfrac k2\pi ~$(단, $k$$k$는 정수)

• 어차피 문제에서 모든 항을 구해야하니, 차근차근 구하자.

  • $a_1$$a_1$

    $(0,3)$$(0,~3)$

    $1,2,\frac{\pi }{2}$$1,~2,~\cfrac {\pi}2$

    $a_1=3+\frac{\pi }{2}$$a_1=3+\cfrac {\pi}2$

  • $a_2$$a_2$

    $(3,6)$$(3,~6)$

    $4,\pi ,\frac{3}{2}\pi$$4,~\pi,~\cfrac 32\pi$

    $a_2=4+\frac{5}{2}\pi$$a_2=4+\cfrac 52\pi$

  • $a_3$$a_3$

    $(6,9)$$(6,~9)$

    $2\pi ,\frac{5}{2}\pi$$2\pi,~\cfrac 52\pi$

    $a_3=\frac{9}{2}\pi$$a_3=\cfrac 92\pi$

    $l=3⟶a_5$$l=3\quad \longrightarrow \quad a_5$까지 구하자.

  • $a_4$$a_4$

    $(9,12)$$(9,~12)$

    $3\pi ,\frac{7}{2}\pi$$3\pi,~\cfrac 72\pi$

    $a_4=\frac{13}{2}\pi$$a_4=\cfrac {13}2\pi$

  • $a_5$$a_5$

    $(12,15)$$(12,~15)$

    $4\pi ,\frac{9}{2}\pi$$4\pi,~\cfrac 92\pi$

    $a_5=\frac{17}{2}\pi$$a_5=\cfrac {17}2\pi$

$\therefore \sum _{k=1}^5{a}_k=7+\frac{45}{2}\pi$$\therefore~ \sum\limits_{ k=1}^5a_k=7+\cfrac {45}{2}\pi$