2019년 03월 가형 30번

30. 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 $1$$1$인 모든 사차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 $f(0)$$f(0)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^x}=0$$\lim\limits_{ x\to \infty}\cfrac x{e^x}=0$)

(가) $f(1)=0,f^{\prime }(1)=0$$f(1)=0,~f'(1)=0$

(나) 방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$의 모든 실근은 $10$$10$ 이하의 자연수이다.

(다) 함수 $g(x)=\frac{3x}{e^{x-1}}+k$$g(x)=\cfrac {3x}{e^{x-1}}+k$에 대하여 함수 $|(f\circ g)(x)|$$|(f\circ g)(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 $k$$k$의 개수는 $4$$4$이다.

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i. 생각

• $f(x)=x^2(x^2+ax+b)$$f(x)=x^2 (x^2 +ax+b)$

  $f(x)$$f(x)$가 가능한 개형을 보자.

  

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 알아보자.

  $g^{\prime }(x)=-3(x-1)e^{-x+1}$$g'(x)=-3(x-1)e^{-x+1}$

  $g(1)=k+3$$g(1)=k+3$

  

  $g(x)$$g(x)$의 치역은 $-\mathrm{\infty }\to 3+k\to k$$-\infty \to 3+k\to k$ 임을 알 수 있다.

• $|(f\circ g)(x)|$$|(f\circ g)(x)|$를 생각하자.

  1. 첫번째 개형

     

     $g(x)$$g(x)$의 치역을 생각하면,

     $4\le k+3\le \alpha <\beta$$4\le k+3\le \alpha <\beta$이면 미분가능하다. $(\because k$$(\because~k$는 자연수)

     $k$$k$의 값이 $4$$4$개 있어야 하므로, $k=1,2,3,4$$k=1,~2,~3,~4$라 하면, $\alpha =7$$\alpha =7$ 그리고 $\beta =8,,9,10$$\beta=8,~,9,~10$이면 된다.

     $h(x)=f(g(x))$$h(x)=f(g(x))$라 하면, $g(1)=7$$g(1)=7$이고, $g^{\prime }(1)=0$$g'(1)=0$이다.

     $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$에서 $h^{\prime }(1)=0$$h'(1)=0$으로 $x=7$$x=7$에서 미분가능하다.

      

     $f(x)=(x-1{)}^2(x-7)(x-\beta )$$f(x)=(x-1)^2 (x-7)(x-\beta)$

     $f(0{)}_{min}=56,f(0{)}_{max}=70$$f(0)_{\min}=56,~f(0)_{\max} =70$

  2. 두번째 개형

     

     이건 전구간에서 미분가능하다...패스

  3. 세번째 개형

     

     $4\le k+3\le \alpha \le 10$$4\le k+3\le \alpha \le 10$이면 된다.

     $\alpha =7$$\alpha =7$일 때에만 $k$$k$의 개수가 $4$$4$개이다.

     $f(x)=(x-1{)}^3(x-7)$$f(x)=(x-1)^3 (x-7)$

     $f(0)=7$$f(0)=7$

$\therefore f(0{)}_{max}=70,f(0{)}_{min}=7$$\therefore~ f(0)_{\max}=70,~f(0)_{\min}=7$

$\therefore 77$$\therefore~ 77$