2019년 03월 가형 21번

21. 함수 $f(x)$$f(x)$의 도함수가 $f^{\prime }(x)=x{e}^{-x^2}$$f'(x)=xe^{-x^2}$이다. 모든 실수 $x$$x$에 대하여 두 함수 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 고르시오.

(가) $\begin{array}{r}g(x)={\int }_1^x{f}^{\prime }(t)(x+1-t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_1^x f'(t)(x+1-t)dt\end{aligned}$

(나) $f(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)$$f(x)=g'(x)-f'(x)$

ㄱ. $g^{\prime }(1)=\frac{1}{e}$$g'(1)=\cfrac 1e$

ㄴ. $f(1)=g(1)$$f(1)=g(1)$

ㄷ. 어떤 양수 $x$$x$에 대하여 $g(x)<f(x)$$g(x)<f(x)$이다.

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i. 정리

• $f^{\prime }(x)=x{e}^{-x^2}$$f'(x)=xe^{-x^2}$

  치환적분이 가능하다

• $\begin{array}{r}g(x)=x{\int }_1^x{f}^{\prime }(t)dt+{\int }_1^x{f}^{\prime }(t)dt-{\int }_1^{x}t{f}^{\prime }(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=x\int_1^x f'(t)dt +\int_1^x f'(t)dt -\int_1^x tf'(t)dt\end{aligned}$

• $f(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)$$f(x)=g'(x)-f'(x)$

ii. 생각

• ㄱ

  $f(1)=g^{\prime }(1)-f^{\prime }(1)$$f(1)=g'(1)-f'(1)$

  $g^{\prime }(1)=f(1)+f^{\prime }(1)$$g'(1)=f(1)+f'(1)$

  $\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& ={\int }_1^x{f}^{\prime }(t)dt+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)-x{f}^{\prime }(x)\\ \\ & ={\int }_1^x{f}^{\prime }(t)dt+f^{\prime }(x)\end{array}$$\begin{aligned} g'(x)&=\int_1^x f'(t)dt +xf'(x)+f'(x)-xf'(x) \\ \\ &= \int_1^xf'(t)dt+f'(x) \end{aligned}$

  $g^{\prime }(1)=f^{\prime }(1)$$g'(1)=f'(1)$

  그리고, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{e}$$f'(1)=\cfrac 1e$

  True

• ㄴ

  $f(1)=g^{\prime }(1)-f^{\prime }(1)=0$$f(1)=g'(1)-f'(1)=0$

  $g(1)=0$$g(1)=0$

  $\therefore f(1)=g(1)=0$$\therefore~ f(1)=g(1)=0$

  True

• ㄷ

  $h(x)=g(x)-f(x)$$h(x)=g(x)-f(x)$라 하자.

  $h(1)=0$$h(1)=0$

  $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=f(x)$$h'(x)=g'(x)-f'(x)=f(x)$

  $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 알아야겠네?

  $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$의 개형은

  

  $h^{\prime }(x)$$h'(x)$의 개형을 대충 그려보면,

  

  $0<x<1$$0<x<1$에서 $h(x)$$h(x)$는 감소하고, $h(1)=0$$h(1)=0$이고 $1<x$$1<x$이면 $h(x)$$h(x)$는 증가한다.

  즉, $h(1)$$h(1)$이 $x>0$$x>0$에서 최솟값이다.

  $\therefore h(x)\ge 0$$\therefore~ h(x)\ge 0$

  False