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지난 교육과정 기출문제/미적분

2019년 03월 나형 30번

by Dyner 2022. 6. 20.
2019.03.B.30
30. 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 Sn이라 하자.
(가) 정사각형은 모두 한 변의 길이가 1이고 꼭짓점의 x 좌표와 y 좌표가 모두 정수이다.
(나) 연립부등식 12x2<y2<x2, 0<x<2n1을 만족시키는 점 (x, y) 중에는 정사각형 내부에 있는 점이 있다.
limnSn+1Snn2의 값을 구하시오.

i. 생각

  • 당연히 그리고 생각해야지?

    그래프를 토대로 생각하면,

    Sn+1Snx=2n, 2n+1일 때의 정사각형의 개수이다.

  • 계산하자.

    • x=2n+1일 때,

      위로는 (2n+1)2

      아래로는 12(2n)2까지 가능할 것이다.

      (2n+1)212(2n)2=2n2+4n+1

    • x=2n일 때,

      마찬가지로

      (2n)212(2n1)2=2n2+2n12

      그런데, 격자점으로 정사각형을 만들어야 하니 2n2+2n12보다 큰 가까운 정수일 것이다.

       2n2+2n

     Sn+1Sn=4n2+6n+1

limnSn+1Snn2=4

 

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