2019학년도 11월 가형 20번

20. 점 $(-\frac{\pi }{2},0)$$\Big(-\cfrac {\pi}2 ,~0\Big)$에서 곡선 $y=\sin x(x>0)$$y=\sin x ~(x>0)$에 접선을 그어 접점의 $x$$x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$$n$ 번째 수를 $a_n$$a_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $\tan a_n=a_n+\frac{\pi }{2}$$\tan a_n=a_n+\cfrac {\pi}2$

ㄴ. $\tan a_{n+2}-\tan a_n>2\pi$$\tan a_{n+2} -\tan a_n >2\pi$

ㄷ. $a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$$a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$

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i. 생각

• 접선을 구하자.

  $y^{\prime }=\cos x$$y'=\cos x$

  $y=\cos a_n(x-a_n)+\sin a_n$$y=\cos a_n (x-a_n)+\sin a_n$은 $(-\frac{\pi }{2},0)$$\Big(-\cfrac {\pi}2 ,~0\Big)$을 지난다.

  $0=-\frac{\pi }{2}\cos a_n-a_n\cos a_n+\sin a_n$$0=-\cfrac {\pi}2 \cos a_n -a_n \cos a_n +\sin a_n$

  양변을 $\cos a_n$$\cos a_n$으로 나누면, ($\cos a_n\ne 0$$\cos a_n\neq 0$)

  $0=-\frac{\pi }{2}-a_n+\tan a_n$$0=-\cfrac {\pi}2 -a_n +\tan a_n$

  $\therefore \tan a_n=a_n+\frac{\pi }{2}⟶$$\therefore~ \tan a_n =a_n+\cfrac {\pi}2\quad \longrightarrow \quad$ㄱ. True

• $\tan a_{n+2}-\tan a_n>2\pi$$\tan a_{n+2} -\tan a_n >2\pi$

  $\begin{array}{rl}\tan a_{n+2}-\tan a_n& =a_{n+2}+\frac{\pi }{2}-a_n-\frac{\pi }{2}\\ \\ & =a_{n+2}-a_n\end{array}$$\begin{aligned} \tan a_{n+2} -\tan a_n &= a_{n+2} +\cfrac {\pi}2 -a_n -\cfrac {\pi}2 \\ \\ &= a_{n+2} -a_n \end{aligned}$

  흠...그래프를 그려보자.

  

  $y=\tan x$$y=\tan x$의 주기는 $\pi$$\pi$

  $y=a_n$$y=a_n$과의 교점과 $\tan x$$\tan x$가 만나는 점들의 거리가 $k\pi$$k\pi$ (단, $k$$k$는 정수)

  $a_{n+2}$$a_{n+2}$는 $2\pi$$2\pi$에 해당하는 점보다 조금 더 크다.

  $\therefore$$\therefore~$True

• $a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$$a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$

  식을 조금 변형하면,

  $a_{n+2}-a_n>a_{n+3}-a_{n+1}$$a_{n+2}-a_n>a_{n+3}-a_{n+1}$

  그래프의 교점으로 판단하면,

  

  뭐 당연한 이야기일 것이다. $\tan x$$\tan x$ 함수는 빠르게 $\mathrm{\infty }$$\infty$로 발산을 해버리니까.

  $\therefore$$\therefore~$ㄷ. True