2019학년도 09월 가형 30번

30. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$이고 최솟값이 $0$$0$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$와 함수 $g(x)=2x^4{e}^{-x}$$g(x)=2x^4 e^{-x}$에 대하여 합성함수 $h(x)=(f\circ g)(x)$$h(x)=(f\circ g)\big(x\big)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $h(x)=0$$h(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$$4$이다.

(나) 함수 $h(x)$$h(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극소이다.

(다) 방정식 $h(x)=8$$h(x)=8$의 서로 다른 실근의 개수는 $6$$6$이다.

$f^{\prime }(5)$$f'(5)$의 값을 구하시오. (단, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$$\lim\limits_{ x\to \infty}g(x)=0$

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i. 생각

• 우선 할 수 있는 것이 $g(x)$$g(x)$의 개형을 그리는 것이다.

  $g^{\prime }(x)=8x^3{e}^{-x}-2x^4{e}^{-x}=-2x^3(x-4)e^{-x}$$g'(x)=8x^3 e^{-x} -2x^4 e^{-x}=-2x^3(x-4)e^{-x}$

  $x=0$$x=0$에서 극소, $x=4$$x=4$에서 극대

  그래프를 대충 그리면,

  

• $h(x)=0$$h(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$$4$이다.

  $h(x)=f(g(x))$$h(x)=f(g(x))$

  

  • $f(\beta )=0$$f(\beta)=0$이라 하면, $g(x)=\beta$$g(x)=\beta$가 되는 $x$$x$의 값이 근일 것이다. 그래프를 확인하면 근은 $2$$2$개
  • $f(\alpha )=0$$f(\alpha)=0$이라 하면, $g(x)=\alpha$$g(x)=\alpha$가 되는 $x$$x$의 값은 $3$$3$개
  • $f(0)=0$$f(0)=0$이라 하면, $g(x)=0$$g(x)=0$이 되는 $x$$x$의 값은 $1$$1$개

  이를 기준으로 생각하면 $f(x)$$f(x)$는 $f(0)=f(\alpha )=0$$f(0)=f(\alpha)=0$의 경우에만 가능하다. 그런데, 조건에서 최솟값이 $0$$0$인 사차함수라고 한다.

  $\therefore f(x)=\frac{1}{2}{x}^2(x-\alpha )(0<\alpha <\beta )$$\therefore~ f(x)=\cfrac 12 x^2 (x-\alpha )\quad (0<\alpha <\beta)$

• $h(x)$$h(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극소이다.

  • $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

  이건 뭐하러 준 조건이지?

• $h(x)=8$$h(x)=8$의 서로 다른 실근의 개수는 $6$$6$이다.

  $f(x)$$f(x)$의 개형을 살펴보자.

  

  그런데, $h(x)$$h(x)$의 정의역은 $g(x)$$g(x)$의 치역이다. 그런데, $0\le g(x)$$0\le g(x)$이다.

  

  $f(x)=8$$f(x)=8$의 근의 개수는 경우에 따라 $1,2,3$$1,~2,~3$이 가능하다.

  • $f(x)=8$$f(x)=8$의 근의 개수가 $1$$1$개 이고 $k$$k$라 하자.

    $g(x)=k$$g(x)=k$를 만족하는 개수는 $3,2,1$$3,~2,~1$의 경우로 최대 $3$$3$가지가 전부이다.

  • $f(x)=8$$f(x)=8$의 근의 개수가 $2$$2$개이고 $k_1,k_2$$k_1,~k_2$라 하자. $(0<k_1,k_2<\beta$$(0<k_1,~k_2<\beta$)

    $g(x)=k_1$$g(x)=k_1$을 만족하는 근의 개수는 $1\sim 3$$1\sim 3$개

    $g(x)=k_2$$g(x)=k_2$를 만족하는 근의 개수는 $1\sim 3$$1\sim 3$개

    $g(x)=k_1,k_2$$g(x)=k_1,~k_2$의 근들이 각각 $3$$3$개이면 조건을 만족한다!

    이 경우는 $y=f(x)$$y=f(x)$의 극댓값이 $8$$8$을 만족할 때이다.

  • $f(x)=8$$f(x)=8$의 근의 개수가 $3$$3$개이고 각 근을 $k_1<k_2<k_3$$k_1<k_2<k_3$라 하자.

    $g(x)=k_n(n=1,2,3)$$g(x)=k_n~(n=1,~2,3)$의 근의 개수가 서로 달라야 한다.

    $\Leftarrow$$\Leftarrow$ 만일 근의 개수가 같다면, $k_n$$k_n$의 값은 유일해야만 가능하다. $k_n=g(4)$$k_n=g(4)$ 그러나 불가능하다.

    $0<k_1<\beta$$0<k_1<\beta$이면 $g(x)=k_1$$g(x)=k_1$의 근은 $3$$3$개

    $k_3=g(4)$$k_3=g(4)$이면 $g(x)=k_2$$g(x)=k_2$의 근은 $2$$2$개

    그런데, $0<k_2<k_3=g(4)$$0<k_2<k_3=g(4)$일 수 밖에 없고 이 경우는 근의 개수가 $3$$3$개이다.

    불가능하다.

  $\therefore y=f(x)$$\therefore~ y=f(x)$의 극댓값은 $8$$8$일 때이다.

• $y=f(x)$$y=f(x)$의 극댓값이 $8$$8$이 되는 $k$$k$의 값을 구하자.

  $f^{\prime }(x)=x(x-k)(2x-k)$$f'(x)=x(x-k)(2x-k)$

  $\therefore f^{\prime }(\frac{k}{2})=8⟶k=4$$\therefore~ f'(\cfrac k2)=8\quad \longrightarrow \quad k=4$

$\therefore f^{\prime }(x)=x(x-4)(2x-4)$$\therefore~ f'(x)=x(x-4)(2x-4)$

$\therefore f^{\prime }(5)=5\cdot 1\cdot 6=30$$\therefore~ f'(5)=5\cdot 1\cdot 6=30$