2019학년도 09월 가형 21번

21. $0$$0$이 아닌 세 정수 $l,m,n$$l,~m,~n$이

$$|l|+|m|+|n|\le 10$$

을 만족시킨다. $0\le x\le \frac{3}{2}\pi$$0\le x\le \cfrac 32\pi$에서 정의된 연속함수 $f(x)$$f(x)$가 $f(0)=0$$f(0)=0$이고, $f(\frac{3}{2}\pi )=1$$f\Big(\cfrac 32\pi\Big)=1$이고

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}l\cos x& (0<x<\frac{\pi }{2})\\ \\ m\cos x& (\frac{\pi }{2}<x<\pi )\\ \\ n\cos x& (\pi <x<\frac{3}{2}\pi )\end{array}\end{array}$$

를 만족시킬 때, $\begin{array}{r}{\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\frac 32\pi} f(x)dx \end{aligned}$의 값이 최대가 되도록 하는 $l,m,n$$l,~m,~n$에 대하여 $l+2m+3n$$l+2m+3n$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 우선 주어진 정보를 이용하여 $f(x)$$f(x)$를 구하도록 하자.

  계산생략

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}(m+n+1)\sin x& (0<x<\frac{\pi }{2})\\ \\ m\sin x+(1+n)& (\frac{\pi }{2}<x<\pi )\\ \\ n\sin x+(1+n)& (\pi <x<\frac{3}{2}\pi )\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} (m+n+1)\sin x &(0<x<\cfrac {\pi}2)\\ \\ m\sin x +(1+n)&(\cfrac {\pi}2<x<\pi)\\ \\ n\sin x +(1+n)&(\pi<x<\cfrac 32\pi)\end{cases}$

  $l=m+n+1$$l=m+n+1$

• 구한 $f(x)$$f(x)$를 이용하여 $\begin{array}{r}{\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\frac 32\pi} f(x)dx \end{aligned}$를 계산하자.

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }f(x)dx& =2m+2n+1+(n+1)\pi \\ \\ & =(m+n+1)+m+n+(n+1)\pi \\ \\ & =l+m+n+(n+1)\pi \end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\frac 32\pi} f(x)dx&= 2m+2n+1+(n+1)\pi \\ \\ &= (m+n+1)+m+n+(n+1)\pi \\ \\ &=l+m+n+(n+1)\pi \end{aligned}$

  적분값이 최대가 되기 위해서는 $l,m,n$$l,~m,~n$은 자연수일 것이다.

• $(l,m,n)$$(l,~m,~n)$이 가질 수 있는 순서쌍을 구하자. 그 중에서 $n$$n$의 값이 최대인 값이 구하고자하는 값일 것이다. ($\because \pi$$\because~\pi$)

  $(5,3,1),(5,2,2),(5,1,3)$$(5,~3,~1),~(5,~2,~2),~(5,~1,~3)$

  이 중 $(5,1,3)$$(5,~1,~3)$일 때, 최대일 것이다.

$\therefore l+2n+3m=16$$\therefore~ l+2n+3m=16$