2019학년도 09월 가형 20번

20. 열린 구간 $(0,2\pi )$$(0,~2\pi)$에서 정의된 함수 $f(x)=\cos x+2x\sin x$$f(x)=\cos x +2x\sin x$가 $x=\alpha$$x=\alpha$와 $x=\beta$$x=\beta$에서 극값을 가진다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, $\alpha <\beta$$\alpha<\beta$)

ㄱ. $\tan (\alpha +\pi )=-2\alpha$$\tan(\alpha +\pi )=-2\alpha$

ㄴ. $g(x)=\tan x$$g(x)=\tan x$라 할 때, $g^{\prime }(\alpha +\pi )<g^{\prime }(\beta )$$g'(\alpha+\pi)<g'(\beta)$이다.

ㄷ. $\frac{2(\beta -\alpha )}{\alpha +\pi -\beta }<{\sec }^2\alpha$$\cfrac {2(\beta-\alpha )}{\alpha +\pi -\beta}<\sec^2 \alpha$

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i. 생각

• 우선 $f(x)$$f(x)$가 극값이 되는 경우를 찾도록 하자.

  $f^{\prime }(x)=-\sin x+2\sin x+2x\cos x$$f'(x)=-\sin x +2\sin x +2x\cos x$

  $-2x=\tan x$$-2x=\tan x$

  그래프로 그려서 판단해야 할 듯 하다.

• $-2x=\tan x$$-2x=\tan x$의 그래프를 그려서 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$를 표시하자.

  

  $-2\alpha =\tan \alpha$$-2\alpha =\tan \alpha$

  $-2\beta =\tan \beta$$-2\beta =\tan \beta$

ii. ㄱ

$\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha =-2\alpha$$\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha=-2\alpha$

True

iii. ㄴ

ㄱ에 알아낸 것을 그래프에 표시하자.

접선의 기울기를 비교하면 $g^{\prime }(\alpha +\pi )<g^{\prime }(\beta )$$g'(\alpha +\pi)<g'(\beta)$

iv. ㄷ

• 어? 이건 좀 복잡해 보인다.
• $g^{\prime }(x)=(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$g'(x)=(\tan x)'=\sec^2 x$

어? 기울기?

식을 다시 보니 $\frac{-2\alpha -2\beta }{(\alpha +\pi )-\beta }<{\sec }^2\alpha$$\cfrac{-2\alpha -2\beta }{(\alpha +\pi)-\beta }<\sec^2 \alpha$

두 점 $(\alpha +\pi ,2\alpha ),(\beta ,-2\beta )$$(\alpha +\pi,~2\alpha ),~(\beta ,~-2\beta)$의 기울기와 ${\sec }^2\alpha =g^{\prime }(\alpha )$$\sec ^2 \alpha=g'(\alpha )$

그래프를 보니

False