2018년 07월 가형 30번

30. $ab<0$$ab<0$인 상수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$는 $f(x)=(ax+b)e^{-\frac{x}{2}}$$f(x)=(ax+b)e^{-\frac x2}$이고 함수 $\begin{array}{r}g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_0^x f(t)dt\end{aligned}$이다. 실수 $k(k>0)$$k~(k>0)$에 대하여 부등식

$$g(x)-k\ge xf(x)$$

를 만족시키는 양의 실수 $x$$x$가 존재할 때, 이 $x$$x$의 값 중 최솟값을 $h(k)$$h(k)$라 하자.

함수 $g(x)$$g(x)$와 $h(k)$$h(k)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 극댓값 $\alpha$$\alpha$를 갖고 $h(\alpha )=2$$h(\alpha)=2$이다.

(나) $h(k)$$h(k)$의 값이 존재하는 $k$$k$의 최댓값은 $8e^{-2}$$8e^{-2}$이다.

$100(a^2+b^2)$$100(a^2+b^2)$의 값을 구하시오. (단, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$\lim\limits_{ x\to \infty}f(x)=0$)

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i. 생각

• 우선 부등식은 한 곳으로 몰아버리자.

  $g(x)-xf(x)\ge k$$g(x)-xf(x)\ge k$

  $j(x)=g(x)-xf(x)$$j(x)=g(x)-xf(x)$라 하고 나중에 이 그래프를 그리면 될 거 같다.

• 조건 (가)를 생각하자.

  • $g^{\prime }(x)=f(x)$$g'(x)=f(x)$

    $g(x)$$g(x)$는 극댓값을 갖는다.

    • $a>0$$a>0$

      

      $g(x)$$g(x)$는 극솟값을 갖는다.

    • $a<0$$a<0$

      

      $g(x)$$g(x)$는 극댓값을 갖는다.

    $\therefore a<0$$\therefore~ a<0$이고 $x=-\frac{b}{a}$$x=-\cfrac ba$에서 $y=g(x)$$y=g(x)$는 극댓값을 갖는다.

    $g(-\frac{b}{a})=\alpha$$g\Big(-\cfrac ba \Big)=\alpha \quad$(문제 조건)

• 아무래도 $y=j(x)$$y=j(x)$의 그래프를 그려야지 조건 (나)를 활용할 수 있겠다.

  $j^{\prime }(x)=-xf(x)=\frac{a}{2}x(x-2+\frac{b}{a})e^{-\frac{x}{2}}$$j'(x)=-xf(x)=\cfrac a2 x(x-2+\cfrac ba)e^{-\cfrac x2}$

  

  $j(0)=0$$j(0)=0$을 이용하여 $y=j(x)$$y=j(x)$의 그래프를 그리자!

  

  조건 (나)를 그래프에 표기했다.

  조건 (가)도 그래프에 표시하면,

  

  미지수는 $2$$2$개

  • $j(2-\frac{b}{a})=8e^{-2}$$j\Big(2-\cfrac ba\Big)=8e^{-2}$

  • $j(2)=\alpha =g(2)-2f(2)=g(-\frac{b}{a})$$j(2)=\alpha =g(2)-2f(2)=g\Big(-\cfrac ba\Big)$

  식도 $2$$2$개...그런데 계산이..더럽겠다..

ii. 계산 (계산은 마구 생략!)

• $g(x)$$g(x)$를 구하자.

  $g(x)=4a+2b-2(ax+b+2a)e^{-\frac{x}{2}}$$g(x)=4a+2b-2(ax+b+2a)e^{-\frac x2}$

• $g(-\frac{b}{a})$$g\big(-\cfrac ba\big)$을 구하자.

  $g(-\frac{b}{a})=4a+2b-2(-b+b+2a)e^{\frac{b}{2a}}=4a+2b-4a{e}^{\frac{b}{2a}}$$g\Big(-\cfrac ba\Big) =4a+2b-2(-b+b+2a)e^{\frac b{2a}}= 4a+2b-4ae^{\frac b{2a}}$

• $j(2)$$j(2)$를 구하자.

  $j(2)=4a+2b-2(6a+2b)e^{-1}$$j(2)=4a+2b-2(6a+2b)e^{-1}$

• $g(-\frac{b}{a})=j(2)$$g\Big(-\cfrac ba\Big)=j(2)$를 이용하면,

  $\frac{b}{2a}=-1⟶b=-2a$$\cfrac b{2a}=-1\quad \longrightarrow \quad b=-2a$

• $2-\frac{b}{a}=4⟶j(4)=8e^{-2}$$2-\cfrac ba =4\quad \longrightarrow \quad j(4)=8e^{-2}$

  $-16a{e}^{-2}=8e^{-2}$$-16ae^{-2}=8e^{-2}$

  $\therefore a=-\frac{1}{2},b=1$$\therefore~ a=-\cfrac 12,~b=1$

$\therefore 100(a^2+b^2)=100(\frac{1}{4}+1)=125$$\therefore~ 100(a^2+b^2)=100(\cfrac 14+1)=125$