2018년 07월 가형 19번

19. 자연수 $n$$n$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$는 $f(x)=x^n-1,g(x)={\log }_3(x^4+2n)$$f(x)=x^n-1, ~g(x)=\log_3 (x^4+2n)$이다.

함수 $h(x)$$h(x)$가 $h(x)=g(f(x))$$h(x)=g\big(f(x)\big)$일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $h^{\prime }(1)=0$$h'(1)=0$

ㄴ. 열린 구간 $(0,1)$$(0,~1)$에서 함수 $h(x)$$h(x)$는 증가한다.

ㄷ. $x>0$$x>0$일 때, 방정식 $h(x)=n$$h(x)=n$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$$1$이다.

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i. 생각

• 그래프 개형을 그리기 위해 장난을 좀 치도록 하자.

  $f(x)=x^n-1$$f(x)=x^n -1$

  $j(x)=x^4+2n,k(x)={\log }_{3}x$$j(x)=x^4 +2n,~k(x)=\log_3 x$라 하면,

  $\Rightarrow g(x)=k(j(x))$$\Rightarrow\quad g(x)=k\big(j(x)\big)$

  $h(x)=g(f(x))=k(j(f(x)))$$h(x)=g(f(x))=k(j(f(x)))$

• 이제 그리자.

  • $f(x)$$f(x)$의 개형을 생각하자.

    • $n$$n$이 홀수이면,

      

    • $n$$n$이 짝수이면,

      

    두 경우 다 정의역이 $0\to \mathrm{\infty }$$0\to \infty$ 인 동안, 치역은 $-1\to \mathrm{\infty }$$-1\to \infty$

    그리고 $f(x)=0$$f(x)=0$의 실근은 전부 $1$$1$

  • $j(x)$$j(x)$를 살펴보고, $j(f(x))$$j(f(x))$의 개형을 유추하자.

    

    $j(f(x))$$j(f(x))$의 그래프를 생각해볼까?

    $f:0\to \mathrm{\infty }⟶-1\to \mathrm{\infty }$$f:0\to \infty\quad \longrightarrow \quad -1\to \infty$

    $j\circ f$$j\circ f$는 합성함수의 정의를 생각하면,

    $0\to \mathrm{\infty }\underset{⟶}{f}-1\to 0\to \mathrm{\infty }\underset{⟶}{j}2n+1\to 2n\to \mathrm{\infty }$$0\to\infty\quad \underset{\longrightarrow}{f}\quad -1\to 0\to \infty\quad \underset{\longrightarrow}{j} \quad 2n+1\to 2n\to \infty$

    

  • $k(x)={\log }_{3}x$$k(x)=\log_3x$함수이고, 위에서 알아낸 개형을 활용하여 $h(x)$$h(x)$의 그래프 개형을 그리자.

    $0\to 1\to \mathrm{\infty }\underset{⟶}{j\circ f}2n+1\to 2n\to \mathrm{\infty }\underset{⟶}{k}{\log }_3(2n+1)\to {\log }_3(2n)\to \mathrm{\infty }$$0\to 1\to \infty \quad \underset{\longrightarrow}{j\circ f}\quad 2n+1\to 2n\to \infty\quad \underset{\longrightarrow}{k}\quad \log_3(2n+1)\to \log_3(2n)\to \infty$

    

    좀 특정하면, $(0,{\log }_3(2n+1))$$(0,~\log_3(2n+1))$에서부터 $(1,lo{g}_3(2n))$$(1,~log_3(2n))$까지 감소했다가, 다시 증가한다.

     

  • $h(x)$$h(x)$의 개형을 마지막으로 그리면,

    

    처럼 나올 것이다. $y$$y$ 절편은 $(0,{\log }_3(2n+1)$$(0,~\log_3(2n+1)$ 그리고 극소값은 $(1,{\log }_3(2n))$$(1,~\log_3(2n))$

ii. ㄱ

$h^{\prime }(1)=0$$h'(1)=0$

합성함수의 미분법을 생각하면, 이미 중간 과정에서 $x=1$$x=1$에서 극소값을 가지고, 그 미분계수는 $0$$0$임을 알 수 있다.

True

iii. ㄴ

False

iv. ㄷ

두개 이상의 실근을 가지기 위해서는 ${\log }_{3}2n<n<{\log }_3(2n+1)$$\log_3{2n}<n<\log_3 (2n+1)$을 만족해야한다.

당연히 그런 자연수 $n$$n$은 존재하지 않는다.

노파심으로 잠깐 살펴보면, $2n<3^n<2n+1$$2n<3^n<2n+1$이고 뭐 더 말해야하나...?

True