2018년 10월 가형 30번

30. 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x-\pi & (x<-\pi )\\ \\ \sin x& (-\pi \le x\le \pi )\\ \\ -x+\pi & (\pi <x)\end{array}\end{array}$$

가 있다. 실수 $t$$t$에 대하여 부등식 $f(x)\le f(t)$$f(x)\le f(t)$를 만족하는 시키는 실수 $x$$x$의 최솟값을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 예를 들어 $g(\pi )=-\pi$$g(\pi)=-\pi$이다. 함수 $g(t)$$g(t)$가 $t=\alpha$$t=\alpha$에서 불연속일 때,

$${\int }_{-\pi }^{\alpha }g(t)dt=-\frac{7}{4}{\pi }^2+p\pi +q$$

이다. $100\times |p+q|$$100\times |p+q|$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 유리수이다.)

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i. 생각

• 뭐 그래프에 직선을 잘 그리면서 판단하자.

• $g(t)$$g(t)$를 구하자!

  • $t<-\pi$$t<-\pi$

    

    $g(t)=t$$g(t)=t$

  • $t=-\pi$$t=-\pi$

    

    $g(-\pi )=-\pi$$g(-\pi)=-\pi$

  • $-\pi <t<-\frac{\pi }{2}$$-\pi<t<-\cfrac {\pi}2$

    

    $g(t)=t$$g(t)=t$

  • $t=-\frac{\pi }{2}$$t=-\cfrac {\pi}2$

    

    $g(-\frac{\pi }{2})=-\frac{\pi }{2}$$g\Big(-\cfrac {\pi}2\Big)=-\cfrac {\pi}2$

  • $-\frac{\pi }{2}<t<0$$-\cfrac {\pi}2<t<0$

    

    $\frac{g(t)+t}{2}=-\frac{\pi }{2}$$\cfrac{g(t)+t}2=-\cfrac {\pi }2$

    $g(t)=-\pi -t$$g(t)=-\pi -t$

  • $t=0$$t=0$

    

    $g(0)=-\pi$$g(0)=-\pi$

  • $0<t<\frac{\pi }{2}$$0<t<\cfrac {\pi}2$

    

    $-g(t)-\pi =\sin t$$-g(t)-\pi=\sin t$

    $g(t)=-\sin t-\pi$$g(t)=-\sin t -\pi$

  • $t=\frac{\pi }{2}$$t=\cfrac {\pi}2$

    

    $g(\frac{\pi }{2})=-\pi -1$$g\Big(\cfrac {\pi}2 \Big)=-\pi -1$

  • $\frac{\pi }{2}<t<\pi$$\cfrac {\pi}2 <t<\pi$

    

    $-g(t)-\pi =\sin t$$-g(t)-\pi =\sin t$

    $g(t)=-\pi -\sin t$$g(t)=-\pi -\sin t$

  • $t=\pi$$t=\pi$

    

    $g(\pi )=-\pi$$g(\pi)=-\pi$

  • $\pi <t<\pi +1$$\pi<t<\pi+1$

    

    $\sin g(t)=-t+\pi$$\sin g(t)=-t+\pi$

    굳이 표현을 하면, $g(t)={\sin }^{-1}(\pi -t)$$g(t)=\sin ^{-1} (\pi -t)$

    어? 제길...

  • $t=\pi +1$$t=\pi+1$

    

    $g(\pi +1)=-\frac{\pi }{2}$$g(\pi+1)=-\cfrac {\pi }2$

  • $\pi +1<t$$\pi+1<t$

    

    $g(t)=t$$g(t)=t$

뭐 글로 쓰니까 일일이 그래프를 그리지 실제로 풀면 그래프 하나에 뚝딱이다...j

• $g(t)$$g(t)$를 정리하면,

  $\begin{array}{c}g(t)=\{\begin{array}{ll}t& (t<-\frac{\pi }{2})\\ \\ -t-\pi & (-\frac{\pi }{2}\le t<0)\\ \\ -\sin t-\pi & (0\le t\le \pi )\\ \\ {\sin }^{-1}(-t+\pi )& (\pi <t\le \pi +1)\\ \\ t& (\pi +1<t)\end{array}\end{array}$$g(t)=\begin{cases}t&(t<-\cfrac {\pi}2)\\ \\ -t-\pi &(-\cfrac {\pi}2 \le t<0)\\ \\ -\sin t -\pi &(0\le t\le \pi)\\ \\ \sin^{-1}(-t+\pi)&(\pi <t\le\pi+1)\\ \\ t&(\pi +1<t) \end{cases}$

  그래프에 대충 표현을 하면,

  

  그리고 $(\pi ,\pi +1]$$(\pi,~\pi+1]$ 구간에는 $\sin$$\sin$함수의 역함수 형태가 올 것이다.

  

  $\alpha =\pi +1$$\alpha =\pi+1$

  이제 계산을 하자.

   

  $\begin{array}{r}{\int }_{-\pi }^{\pi +1}g(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi+1} g(t)dt \end{aligned}$를 계산하려고 보니...어?

  

  각각의 도형의 넓이를 계산하고, $\begin{array}{r}3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx\end{array}$$\begin{aligned} 3\int_0^{\frac {\pi}2}\sin x dx \end{aligned}$를 합한 후 $-$$-$ 부호를 붙이면 된다!

  $\begin{array}{rl}{\int }_{-pi}^{\pi +1}g(t)dt& =-(2{\pi }^2-\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})-3{\int }_0^1\sin xdx\\ \\ & =-\frac{7}{4}{\pi }^2-\frac{\pi }{2}-3\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-pi} ^{\pi+1} g(t)dt &= -\Big(2\pi^2 -\cfrac 12\cdot \pi \cdot \cfrac {\pi}2+\cfrac {\pi}2\Big) -3\int_0^1 \sin x dx \\ \\ &= -\cfrac 74 \pi^2 -\cfrac {\pi}2-3\end{aligned}$

  $\therefore p=-\frac{1}{2},q=-3$$\therefore~ p=-\cfrac 12,~q=-3$

$\therefore 100\times |p+q|=100\times \frac{7}{2}=350$$\therefore~ 100\times |p+q|=100\times \cfrac 72 =350$