2019년 04월 나형 21번

21. 함수

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\frac{x-1}{k}{)}^{2n}-1}{(\frac{x-1}{k}{)}^{2n}+1}(k>0)$$

에 대하여 함수

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}(f\circ f)(x)& (x=k)\\ \\ (x-k{)}^2& (x\ne k)\end{array}\end{array}$$

가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 $k$$k$에 대하여 $(g\circ f)(k)$$(g\circ f)(k)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 당연히 $f(x)$$f(x)$부터 구해야할 것이다.

  $|\frac{x-1}{k}|$$\big|\cfrac {x-1}k\big|$의 값에 따라 극한값이 변할 것은 명확하다.

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (|\frac{x-1}{k}|<1)\\ \\ 0& (|\frac{x-1}{k}|=1)\\ \\ 1& (|\frac{x-1}{k}|>1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -1&(\big|\cfrac {x-1}k\big|<1) \\ \\ 0&(\big|\cfrac {x-1}k\big|=1)\\ \\ 1 &(\big|\cfrac {x-1}k\big|>1)\end{cases}$

• 아무래도 시각적으로 보기 위해 대충 그려봐야겠지?

  

• $g(x)$$g(x)$가 연속이도록 만들자.

  $\underset{x\to k}{lim}g(x)=0$$\lim\limits_{ x\to k} g(x)=0$이어야 한다.

  • $f(f(k))=0$$f(f(k))=0$을 풀자.

    $\begin{array}{c}f(k)=\{\begin{array}{l}1\\ \\ 0\\ \\ -1\end{array}\end{array}$$f(k)=\begin{cases} 1\\ \\ 0 \\ \\ -1\end{cases}$가 가능하다.

     

    그러면, $f(1)=0,f(0)=0,f(-1)=0$$f(1)=0,~f(0)=0,~f(-1)=0$이어야 한다. 그런데, $f(1)=-1$$f(1)=-1$

     

    가능한 조건은

    • $f(0)=0$$f(0)=0$

      $1-k=0$$1-k=0$

      $\therefore k=1$$\therefore~ k=1$

    • $f(-1)=0$$f(-1)=0$

      $1-k=-1$$1-k=-1$

      $\therefore k=2$$\therefore~ k=2$

  • $g(k)=0$$g(k)=0$인지 확인하자.

    • $k=1$$k=1$일 때,

      $f(f(1))=f(-1)=1$$f(f(1))=f(-1)=1$

    • $k=2$$k=2$일 때,

      $f(f(2))=f(-1)=0$$f(f(2))=f(-1)=0$

  $\therefore k=2$$\therefore~ k=2$

$\therefore (g\circ f)(2)=g(-1)=9$$\therefore~ (g\circ f)(2)=g(-1)=9$