2020학년도 06월 가형 20번

20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)>0$$f(x)>0$

(나) $\begin{array}{r}\ln f(x)+2{\int }_0^x(x-t)f(t)dt=0\end{array}$$\begin{aligned} \ln f(x)+2\int_0^x (x-t)f(t)dt=0 \end{aligned}$

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $x>0$$x>0$에서 함수 $f(x)$$f(x)$는 감소한다.

ㄴ. 함수 $f(x)$$f(x)$의 최댓값은 $1$$1$이다.

ㄷ. 함수 $F(x)$$F(x)$를 $\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} F(x)&= \int_0^x f(t)dt\end{aligned}$이라 할 때, $f(1)+\{F(1){\}}^2=1$$f(1)+\{F(1)\}^2 =1$이다.

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i. 생각

• 조건 (나)를 정리해보자.

  $\begin{array}{rl}\ln f(x)+2{\int }_0^x(x-t)f(t)dt& =\ln f(x)+2x{\int }_0^{x}f(t)dt-2{\int }_0^{x}tf(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \ln f(x)+2\int_0^x (x-t)f(t)dt &= \ln f(x)+2x\int_0^x f(t)dt -2\int_0^x tf(t)dt\end{aligned}$

  보기들을 보니..막 미분하고 싶다.. 미리 미분하자.

  $\begin{array}{rl}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+2{\int }_0^{x}f(t)dt+2xf(x)-2xf(x)& =\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+2{\int }_0^{x}f(t)dt\\ \\ & =0\end{array}$$\begin{aligned} \cfrac {f'(x)}{f(x)} +2\int_0^x f(t)dt +2xf(x)-2xf(x) &=\cfrac {f'(x)}{f(x)} +2\int_0^x f(t)dt \\ \\ &=0 \end{aligned}$

• ㄱ

  조건을 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$에 대해 정리하면,

  $\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=-2f(x){\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} f'(x)=-2f(x)\int_0^x f(t)dt\end{aligned}$

  $f(x)>0$$f(x)>0$이고, $x>0$$x>0$에서 $\begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}>0$$\begin{aligned} \int_0^x f(t)dt \end{aligned} >0$

  $\therefore f^{\prime }(x)<0$$\therefore~ f'(x)<0 \quad$(단, $x>0$$x>0$)일 때,

  True

• ㄴ

  ㄱ에서 구한 것을 토대로 이번에는 $x<0$$x<0$일 때를 생각해보자.

  $\begin{array}{r}f(x)>0,{\int }_0^{x}f(t)dt<0\end{array}$$\begin{aligned} f(x)>0,~\int_0^x f(t)dt <0\end{aligned}$

  $\therefore f^{\prime }(x)>0$$\therefore~ f'(x)>0$

  True

• ㄷ

  $F(x)$$F(x)$의 정의를 따라가면, $F^{\prime }(x)=f(x)$$F'(x)=f(x)$이다.

  ㄱ 에서 정리한 식에 대입하면,

  $f^{\prime }(x)=-2F^{\prime }(x)F(x)$$f'(x)=-2F'(x)F(x)$

  양변을 적분하자!

  $f(x)=-\{F(x){\}}^2+C$$f(x)=-\{F(x)\}^2 +C$ (단, $C$$C$는 적분상수)

  $x=0$$x=0$을 대입하면, ㄱ 과 ㄴ을 이용하면, $f(0)=1$$f(0)=1$이다!

  $f(0)=-\{F(0){\}}^2+C⟶1=0+C$$f(0)=-\{F(0)\}^2 +C\quad \longrightarrow \quad 1=0+C$

  $\therefore f(x)+\{F(x{\}}^2=1$$\therefore~ f(x)+\{F(x\}^2=1$

  True