2019년 07월 가형 20번

20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여

$$f(1+x)=f(1-x),f(2+x)=f(2-x)$$

를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$가 연속이고 $\begin{array}{r}{\int }_2^5{f}^{\prime }(x)dx=4\end{array}$$\begin{aligned} \int_2^5 f'(x)dx=4\end{aligned}$일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 모든 실수에 대하여 $f(x+2)=f(x)$$f(x+2)=f(x)$이다.

ㄴ. $f(1)-f(0)=4$$f(1)-f(0)=4$

ㄷ. $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}f(f(x))f^{\prime }(x)dx=6\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 f(f(x))f'(x)dx =6\end{aligned}$일 때, $\begin{array}{r}{\int }_1^{10}f(x)dx=\frac{27}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^{10} f(x)dx =\cfrac {27}2\end{aligned}$이다.

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$는 $x=1,x=2$$x=1,~x=2$에 대하여 대칭이다.
• $f(5)-f(2)=4$$f(5)-f(2)=4$이다.

이를 이용하여 함숫값을 장난쳐보자.

$f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=\cdots$$f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=\cdots$

$f(1)=f(3)=f(5)=\cdots$$f(1)=f(3)=f(5)=\cdots$

어? 규칙이 있을 거 같다?

ㄱ.

$x=x-1$$x=x-1$을 대입해볼까?

$f(x)=f(2-x)$$f(x)=f(2-x)$

어? $f(2-x)=f(2+x)$$f(2-x)=f(2+x)$

$f(x)=f(2+x)$$f(x)=f(2+x)$

True

ㄴ.

그냥 대입하변,

$f(5)=f(2\times 2+1)=f(1)$$f(5)=f(2\times 2 +1)=f(1)$

$f(2)=f(0)$$f(2)=f(0)$

$\therefore f(5)-f(2)=f(1)-f(0)=4$$\therefore~ f(5)-f(2)=f(1)-f(0)=4$

True

ㄷ.

$f(x)=t$$f(x)=t$로 치환하자.

적분 구간은 $f(0)\to f(1)$$f(0)\to f(1)$

$f^{\prime }(x)dx=dt$$f'(x)dx =dt$임을 이용하여 치환하면,

$\begin{array}{r}{\int }_{f(0)}^{f(1)}f(t)dt=6\end{array}$$\begin{aligned} \int_{f(0)}^{f(1)} f(t)dt =6\end{aligned}$

어? ㄴ에서 $f(1)-f(0)=4$$f(1)-f(0)=4$이다.

그리고 이미 ㄱ에서 $f(x)$$f(x)$는 주기가 2인 함수임을 알았다!

따라서 이 적분식은 $y=f(x)$$y=f(x)$를 주기 두번동안 적분한 값이다!!!

그러면, 한 주기를 적분함 값은 $3$$3$이고

$1\to 10$$1\to 10$은 $[1,3],[3,5],[5,7],[7,9],[9,10]$$[1,~3],~[3,~5],~[5,~7],~[7,~9],~[9,~10]$으로 $4$$4$번의 주기의 적분값과 반주기의 핪이다.

$\therefore 4\times 3+\frac{1}{2}\times 3=\frac{27}{2}$$\therefore~ 4\times 3 +\cfrac 12\times 3 =\cfrac {27}2$

True