2020학년도 11월 가형 30번

30. 양의 실수 $t$$t$에 대하여 곡선 $y=t^3\ln (x-t)$$y=t^3 \ln (x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$$y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$$a$의 값을 $f(t)$$f(t)$라 하자. $\{f^{\prime }(\frac{1}{3}){\}}^2$$\Big\{f'\Big(\cfrac 13\Big)\Big\}^2$의 값을 구하시오.

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아.....짧으면 존내 더러운 건데...

i. 생각

• 교점의 $x$$x$ 좌표를 $k$$k$라 하자.

  $t^3\ln (k-t)=2e^{k-a}$$t^3 \ln (k-t) =2e^{k-a}$

• 접선의 기울기도 같아야 한다.

  $\frac{t^3}{k-t}=2e^{k-a}$$\cfrac {t^3}{k-t} =2e^{k-a}$

어랏? 관계식이 묶인다.

$t^3\ln (k-t)=\frac{t^3}{k-t}=2e^{k-a}$$t^3 \ln (k-t)=\cfrac {t^3 }{k-t}=2e^{k-a}$

• $f(t)$$f(t)$를 생각해보자.

  $a=f(t)$$a=f(t)$라 하면,

  $da=f^{\prime }(t)dt$$da=f'(t)dt$

  $\frac{da}{dt}=f^{\prime }(t)$$\cfrac {da}{dt}=f'(t)$

  $f^{\prime }(\frac{1}{3})={\frac{da}{dt}}_{t=\frac{1}{3}}$$f'(\cfrac 13)=\cfrac {da}{dt}_{t=\frac 13}$

가능한 $k$$k$가 사라지는 등식에 미분을 하자....

$t^3\ln (k-t)=2e^{k-a}$$t^3 \ln (k-t)=2e^{k-a}$를 미분하는게 그래도 편할 듯 하다... 이거 안되면 다음 식을 하도록 하자.

$(3t^2\ln (k-t)-\frac{t^3}{k-t})dt=-2e^{k-a}da$$\Big(3t^2 \ln (k-t)-\cfrac {t^3}{k-t}\Big)dt =-2e^{k-a}da$

오...위식을 가지고 장난질 할 수 있겠다.

$\frac{3}{t}\times t^3\ln (k-t)=\frac{3}{t}\times 2e^{k-a}$$\cfrac 3t \times t^3 \ln (k-t) =\cfrac 3t \times 2e^{k-a}$ 를 대입하면,

$(\frac{3}{t}\times 2e^{k-1}-2e^{k-a})dt=-2e^{k-a}da$$\Big(\cfrac 3t \times 2e^{k-1}-2e^{k-a}\Big)dt=-2e^{k-a}da$

$(\frac{3}{t}-1)dt=-da$$\big(\cfrac 3t -1 \big)dt =-da$

$\frac{da}{dt}=1-\frac{3}{t}$$\cfrac {da}{dt }=1-\cfrac 3t$

$f^{\prime }(\frac{1}{3})=-8$$f'(\cfrac 13)=-8$

$\therefore \{f^{\prime }(\frac{1}{3}){\}}^2=64$$\therefore~ \Big\{f'\Big(\cfrac 13\Big)\Big\}^2=64$